Salut !


Je crois qu'il y a  vraiment rien a comprendre en fait. la continuité uniforme c'est uniquement une histoire "d'epsilon".


d'ailleur le théorème de Heine nous le montre bien : des que la fonction est continu elle est uniformement continu sur tous compact (compact = un ensemble fermé est borné) donc 'visuellement' la continuité uniforme apporte rien de plus que la continuité.

Bonjour jamo,

Comme je l'ai comprise, la continuité uniforme c'est quand on prend deux points très proches l'un de l'autre alors leur image respective sont également très proches l'une de l'autre.

Salut jamo

La signification graphique est la suivante: pour >0 donné, non seulement autour de chaque point tu pourras trouver un petit intervalle dans lequel la fonction varie de moins que , mais la longueur du dit intervalle est la même pour tous les points. Ceci limite la variation générale de la fonction (et ce n'est pas vraiment visible sur le graphe.

Le mieux pour bien comprendre est de regarder les fonctions f(x)=x² et g(x)=x sur [0,+[. La première n'est pas uniformément continue, alors que la seconde l'est!

*errata : (compact = un ensemble fermé et borné)

Par exemple la fonction n'est pas uniformément continue, car si on prend un réel t très petit alors l'écart entre x et x+t est très petit alors que l'écart entre f(x) et f(x+t) est bien plus grand.

Sauf erreur

Oups grillé deux fois

Salut Kevin,

Il y a de ça, mais il faut se méfier, h(x)=3x est tout aussi uniformément continue, alors que l'écart est plus grand (mais l'acroissement est quand même borné).

infophile >> oui, mais le théorème de Heine dit qu'une fonction continue sur un intervalle [a;b] est uniformément continue. Donc x² est uniformément continue sur tout intervalle fermé !

jamo > Je précise : pas uniformément continue sur R

Merci Camélia

Donc, "graphiquement", on ne peut pas le "voir".

Parce que la fonction x-->x² n'est pas uniformément continue sur R, mais par contre x-->x

infophile >> oui, mais ce que je voulais dire, c'est que ce n'est pas en comparant l'écart entre les x et leurs images qu'on le voit, puisque pour x², les écarts sur les images sont de toute façon plus grand, mais cela n'empêche que x² est uniformément continue sur un intervalle fermé.

Mon histoire avec les écarts plus grand c'est pour se faire une idée "concrête" de la définition c'est tout

A+

Oui, j'aimerais aussi avoir une définition concrête, mais visiblement, celle que tu proposes ne fonctionne pas !

jamo > Pourquoi elle ne fonctionne pas ?

De R+ --> R la fonction carrée n'est pas uniformément continue car pour x et y dans R+, |f(x)-f(y)| peut être aussi grand que l'on veut, ce qui est contraire à la définition de la continuité uniforme.

Je me trompe ?

Jamo -> a ma connaissance il y a vraiment pas grand chose de plus a dire sur la continuité uniforme que la définition :


"f est uniformement continue sur I si et seulement si pour e>0, il existe a>0 telle que pour tous (x,y) dans I², |x-y|<a => |f(x)-f(y)|<e"



comme tu le fait remarquer, de toute facon toute les fonction continu sont uniformement continue sur tous les fermé borné, donc graphiquement la différence ne ce voit pas.

Ksilver > Non on l'a voit pas mais on peut se l'imaginer non ?

La fonction racine carrée est uniformément continue sur R+. Pourtant |f(x)-f(y)| peut aussi être aussi grand qu'on veut.

Voilà pourquoi je dis qu'il y a un bug dans ton explication.

Ksilver >> oui, je sais, mais j'aime avoir des images

jamo > Oui mais pour la racine carré si on prend x et y assez proche on pourra pas trouver |f(x)-f(y)| aussi grand que l'on veut, alors que pour la fonction carrée si.

Après j'ai peut-être une vision éronnée

J'en sais rien, en tous cas j'ai jammais trouvé d'image vraiment satisfaisante, et a chaque fois que j'ai eu bessoin d'utiliser de la continuité uniforme, c'etait dans le cadre du théorème de Heine et de ces prolongements...
je crois que c'est vraiment une notion construite pour pouvoir permuter des limites, et non pour représenter qqch de concret.

Oui en fait c'est pas terrible comment je vois les choses, vu que je me représente ça sur un intervalle [a,b].

Ca m'aura permis d'y voir plus clair au moins

Ksilver >> oui, il existe des notions assez peu "concrètes", et pour ma part, j'ai besoin d'une image concrète pour bien comprendre parfois.

Je suis d'accord avec Ksilver sur le fait que le mieux c'est de regarder les epsilons! néanmoins, c'est quand même une histoire de vitesse de croissance sur un intervalle infini. La plus rapide croissance possible pour la continuité uniforme est celle des "affines" (précisément les lipschitziennes). Si f croit comme x¹⁺ avec >0, elle n'est pas uniformément continue.

infophile >> oui, en fait, on imagine toujours visuellement les choses sur un intervalle fermé borné.

Et là, justement, cette histoire d'intervalle est très importante, puisque les notions de continuité et de continuité uniforme sont "équivalentes" sur un intervalle fermé borné.

On ne fait jamais de géométrie de la droite, mais on raisonne toujours sur des segments ...

Camélia >> oui, je suis d'accord, c'est bien en relation avec la "vitesse de croissance".

En fait, c'est si on peut majorer le rapport des y sur le rapport des x, ce qui ne peut se faire que si la fonction est k-lip, avec k<=1.

Vous avez à chaque fois bien pris la précaution de parler de fermé, borné et je vous en félicite. Après, tous les exemples ont été pris sur un non borné...

Alors, par souci d'exhaustivité (que je cause bien...) réflechissez aussi à 1/x sur ]0,1]

J'aurais tendance à dire qu'elle n'est pas uniformément continue, par instinct !

J'ai essayé de faire comme sur wikipédia mais j'ai peur de dire une annerie.

Si on pose et avec n entier naturel, et on prend du coup en appliquant la définition :

et ça on peut s'arranger pour trouver n correspondant.

Et comme alors la fonction n'est pas uniformément continue ?

J'ai oublié de préciser sur ]0,1] c'est pour ça que je pose x=1/n et y=1/(n+1) pour qu'ils appartiennent à cet intervalle

Et dernier ajout : n doit être non nul bien sûr

Et

bonjour,

en ce qui concerne la continuité uniforme, je pense qui n'a rien de plus à comprendre que :
" si une fonction n'est pas uniformément continue alors on peut prendre des points d'abscisses arbitrairement proches, tels que leurs images ne soient pas arbitrairement proches ". Par exemple, comme Camélia l' a écrit, sur la courbe d'équation y = x², on peut prendre deux points dont la différence des abscisses est petite, mais celle des ordonnées est grande. Ces fonctions peuvent être approcher par  des fonctions plus simples ...

J'en profite pour donner ce petit exo :
soit f uniformément continue de R+ dans R. Montrer qu'il existe (a,b) de R² tel que pour tout x de R+,
Ce qui montre que la courbe de f est contenu dans un demi-cone...

Salut,
la continuité uniforme est équivalente à la continuité sur un compact (Théorème de Heine).
Si l'espace n'est pas compact, c'est en gros la continuité + le fait que la fonction n'explose pas trop lorsque l'on est proche de la frontière.

Intéressant cette histoire de demi-cone ... mais pourquoi "demi"
Parce que ||f|| est toujours positif.

bonjour,

>Jamo : demi cone délimité pour x dans R+ par les droites d'équation y = ax + b et y = -ax + b
Si on les prolonge (on obtient une sorte de "X") on obtient un cône complet. Tout dépend peut-être de ta définition de cône...

> Jamo : toute fonction continue sur un compact est uniformément continue : cela peut se comprendre car cette fois l'écart entre deux images n'est pas aussi grand que l'on veut puisque ta fonction est bornée. Par exemple, pour la courbe de la  fonction carré sur un intervalle compact est contenue dans un demi cône. Chose qui était impossible sur R tout entier.

> Jamo, apparemment tu as des vacances très studieuses...

Quelqu'un peut-il me dire si mon truc est bon ou si je suis à côté de la plaque ? (17:50)

Merci

Kevin:

Essaye aussi sin(1/x) sur ]0,1] qui est bornée!

Merci Camélia

J'essaye ça immédiatement.

J'ai l'impression qu'on utilise à chaque fois la même méthode :



Je pose et avec ainsi

Et avec car quand la valeur absolue devient aussi petite que l'on veut.

Mais

Et donc en fonction de n pair ou impair la valeur absolue est de 0 ou 1 donc n'est pas uniformément continue sur

C'est bien ça! Maintenant tu as vu tous les cas de continuité non uniforme... et tu dois avoir compris!

Merci beaucoup Camélia

Imagine un point qui parcourt ta courbe et la tangente en ce point. Si pente de cette tangente (autrement dit la dérivée) tend vers l'infini, il n'y pas uniforme continuité.

Exercice : démontrer ce que je viens d'affirmer.

Bonjour stokastik,

voilà une bonne "image" visuelle pour comprendre.

Je pense que ça doit pouvoir se montrer en utilisant le lien entre continuité uniforme et fonction lipschitzienne ...

... essaye de le démontrer et tu verras quel théorème s'impose...

Bonjour à tous.

stokastic, tu as écrit:

Bonjour perroquet,

que vaut la dérivée de la fonction racine carrée en 0 ?

Arf ouais ce que je dis doit être quand la fonction tend vers l'infini.