Soient (X , d) , (X ' , d ') des métriques et f : X
X ' .
1.Soit a
X .
Pour tout
> 0 on peut considérer l'ensemble A(a,
) formé des réels
> 0 tels que d '(f(x) , f(a)) <
si d(a,x) <
.
Dire que f est continue au point a c'est dire qu'on a :
> 0 , A(a,
) est non vide .
Supposons que ce soit le cas .
Tout ensemble A(a,
) est tel que , s'il contient t > 0 , il contient aussi ]0 , t[ . S'il est borné on pose
a,
= Sup (A(a,
)) . Sinon on pose
a,
= 12,4 ( ou 1 comme jsdb ) et on a : A(a ,
)
]0 ,
[ .
On a donc montré qu'e , si f est continue au point a , il existe une application
a,
telle que pour tout t de }0 ,
a,
[ on ait d '(f(x) , f(a)) <
si d(a,x) <
.
Ceci évite les
..
> 0
t ...
..
> 0 dépendant de …
qui n'ont guère de sens .
Il reste quand même à faire la réciproque ( c'esdt très facile )
2.La continuité (globale ) de f peut donc s'écrire :
: X
+* telle que ….
3. Concernant la continuité uniforme :
Pour
> 0 soit Bf(
) := { d '(f(x) , f(y)) │ d(x,y) <
}
L'application t
Bf(t) étant croissante , t
Sup(Bf(t) ) = wf(t) est décroissante de ]0 , +
[ vers [0 , +
] .
On pose w(f) = Inft>0 ( wf(t) ) .
On montre facilement que f est UC ssi w(f) = 0