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Contre Exemple à la proprièté de Cauchy ...
Bonjour ,
je suis à la recherche d'un contre exemple en dimension infinie de la propriété suivante :
" Dans un K espace vectoriel de dimension finie, une suite est de cauchy si et seulement si elle converge "
Bonjour
Prends l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [0,1] muni de la norme
Prends la suite (fn) définie de la manière suivante: f(x)=0 sur [0,1/2-1/n], f(x)=1 sur [1/2,1] et entre les deux la fonction affine qui rend la fonction continue. C'est une suite de Cauchy divergente.
Salut !
l'idée est de prendre une suite qui converge vers qqch qui n'est pas dans ton espace.
par exemple on considere l'espace E = l'ensemble des fonction continu sur [0,1] qu'on munie de la norme infinit.
et on ce place dans R[X] vu comme un sous espace de E.
alors la suite Pn=1+X+x^2/2+...+x^n/n! -> exp(x) dans E.
donc :
1) la suite Pn est de cauchy dans R donc elle est aussi de cauchy dans R[X].
2) la suite Pn ne tend pas vers un polynome (enfin... il faudrat tous de meme prouver que exp(x) n'est pas égal à un polynome sur [0,1]...) docn elle diverge dans R[X].
donc on a un contre exemple à cette propriété dans R[X].
un espace de dimension infini, mais complet, possède tout de même la Propriété de Cauchy.
Il faut donc chercher un contre exemple dans les ensembles non complets.
Comme contre exemple, tu peux prendre Q, les rationnels, et la suite :
qui est de cauchy mais ne converge pas (elle converge vers un irrationel)
Merci de ton aide Camélia
désolé pr le retard à répondre je vérifiais qu'elle était de cauchy et divergente 
Bien sur ici ton corps de base est complet je suppose... car sinon même en dimension finie les espaces ne sont pas complets!
ah non tien j'ai rien dit. oui il faut que le corps de base soit complet pour que la propriété est un sens.
On peut tres bien avoir des esp vect normés sur Q ou C, ou meme Qp...cela dit je jouais plus la mouche du coche qu'autre chose...
tealc> okay pr ton topic
KSilver> Okay aussi ( juste comment prouve tu que sur [0,1] exp(x) n'est pas égal à un polynome )
Rodrigo> Okay aussi
MErci A Vous trois
( juste comment prouve tu que sur [0,1] exp(x) n'est pas égal à un polynome ) >>> ba par exemple parcequ'il n'existe pas de polynome tel que P'=P ? (contradiction sur le dergé)
Pour exp non égal à un polynome sur [0,1], si exp était un polynome de degré n alors la dérivée (n+1)ème de exp serait nulle.
Ou sinon exp est solution de y'=y et si y est un polynome cette equation n'a pas de solution pour des raisons de degré par exemple.
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