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Convergence

Posté par
Laurierie 09-02-07 à 22:11

Bonsoir, je bloque sur un exercice qui concerne la convergence en norme infini.Soit f fonction 2Pi périodique,continue,a valeurs dans C et fn fonction 2pi périodoque dérivable,
avec f_n=n\int_x^{x+1/n} f(t) dt .

Montrer que sup|fn(t)-f(t)| quand t appartient à R, converge vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Pourriez vous m'aider? Merci beaucoup

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 22:14

Bonsoir Laurierie

Astuce : commence par remarquer que

\Large{1=n\bigint_{x}^{x+\frac{1}{n}}dt}

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 22:18

Bonsoir; oui j'ai essayé de transformer f(x) par l'intégrale que tu donnes mais je n'ai aboutis à rien

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 22:22

Dans un premier temps, arrange l'expression pour te ramener à l'intégrale sur un intervalle qui ne dépend ni de x, ni de n.

Kaiser

P.S : ça sent la continuité uniforme à plein nez !!

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 22:27

C'est ce que j'essaie de faire de me ramener à quelque chose qui ne dépend pas de x mais je ne vois pas comment arranger les bornes de l'intégrale Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 22:29

L'idée est de se ramener à l'intervalle [0,1]
on peut faire ça en deux temps :
D'abord, tu peux te ramener à l'intervalle \Large{[0,\frac{1}{n}]}
Ensuite, tu te ramènes l'intervalle [0,1]

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 22:40

Ok j'ai une petite idée on fait deux changement de variable et on se retrouve a majorer par |f(t/n+x)-f(x)| qui tend vers 0 par continuité de f.
Il me manque juste a prouver que ca converge uniformément

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 22:48

Citation :
Ok j'ai une petite idée on fait deux changement de variable et on se retrouve a majorer par |f(t/n+x)-f(x)| qui tend vers 0 par continuité de f.


OK, pour le changement de variable.
ça tend bien vers 0 mais attention tout de même : ce n'est pas seulement la continuité de f qui permet de conclure. En effet, pour pouvoir dire que ça tend vers 0, il faudrait appliquer par exemple le théorème de convergence dominée.
Mais bon, ici, on va montrer que ça tend vers 0 mais sans utiliser ce gros théorème.

Citation :
Il me manque juste a prouver que ca converge uniformément


Ici, il me semble que l'on a pas le choix : il faut repasser par la définition de la limite en utilisant les bon vieux \Large{\varepsilon} en utilisant la continuité uniforme. Cela m'amène donc à te poser la question suivante : Que sais-tu d'une fonction définie sur \Large{\mathbb{R}} continue et périodique ?

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 22:51

Je dirai qu'elle est bornée.

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 22:52

oui mais mieux que ça : en fait, la réponse à cette question est quasiment contenue dans mon message précédent !

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 22:53

En fait je voulais dire qu'on peut majorer par sup(f(t/n+x)-f(x)). Petite question à part: si une fonction tend vers 0, est ce que son sup tend aussi vers 0 ?

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 22:54

Ma derniere question est bete: il faut que l'on ai convergence uniforme!

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 22:57

Citation :
En fait je voulais dire qu'on peut majorer par sup(f(t/n+x)-f(x)).


Citation :
Petite question à part: si une fonction tend vers 0, est ce que son sup tend aussi vers 0 ?


Pour la deuxième citation, je vois ce que tu veux dire !
Justement non ! C'est toute la différence entre la convergence simple et la convergence uniforme !
Ainsi, pour la première citation, je dirait que ça ne marche pas ! (d'après la remarque que je viens de faire).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 22:58

OK, posts croisés !

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 23:00

Revenons à la première question. Une telle fonction est continue uniforme sur tout segment?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 23:03

Citation :
Une telle fonction est continue uniforme sur tout segment?


oui, grâce au théorème de Heine !
Mais en fait, on a encore mieux !

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 23:07

Ok mais la je ne vois pas car c'est pas parce qu'elle est continue sur tout segement qu'elle l'est sur R, sauf s'il s'agit du fait qu'elle est périodique
Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 23:13

Bon et bien, je vais cracher le morceau !:D
Une fonction continue et périodique sur \Large{\mathbb{R}} est uniformément continue.

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 23:17

Ok et bien je ne savais pas je vais revoir mon cours

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 23:18

En fait, ce n'est pas forcément du cours : c'est souvent en exo qu'on le voit ce truc !

Sinon, admettons temporairement ce résultat (on verra ça après).
modulo ce "détail", comment tu continuerais ton exo ?

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 23:29

J'essaie de revenir à la définition de  convergence uniforme mais je n'arrive pas vraiment à écrire la définiton. Pour ce qui est de conclure on va montrer en majorant ce qu'il y'a dans l'intégrale par epsilon  et ainsi avec la définition de la convergence uniforme on montre ce que l'on cherche car c'est inférieur à epsilon

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 23:39

Citation :
Pour ce qui est de conclure on va montrer en majorant ce qu'il y'a dans l'intégrale par epsilon et ainsi avec la définition de la convergence uniforme on montre ce que l'on cherche car c'est inférieur à epsilon


C'est bien ça !
Bien sûr, il faut décrire les détails car cette majoration ne sera vérifiée que pour n assez grand !

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 23:42

Si j'écris: Pour tout epsilon >0 il existe alpha>0 tq t/n<alpha=>|f(t/n+x)-f(x)|<epsilon  et apres je prend n supérieur à E(1/alpha) est ce correct??

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 23:50

Pour être tranquille, il vaut mieux prendre \Large{n > E(\alpha) + 1}.
Sinon, c'est bien ça !
Maintenant, on va montrer le résultat que l'on a admis !
Tout d'abord, on va se fixer un \Large{\varepsilon} et on cherche \Large{\alpha} tel que ça marche.
A ton avis, d'où va sortir ce \Large{\alpha} ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 09-02-07 à 23:51

Pardon , je voulais dire \Large{n > E(\frac{1}{\alpha})}+ 1.

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 09-02-07 à 23:59

En fait j'ai une derniere question avant d'aborder cela: quand on traduit la convergence uniforme ici , on écrit que v/n+x tend vers x ou on utilise la défnition de la limite pour les suites (il existe un N tq pour tout n>N ...).

En fait peux tu m'écrire la convergence uniforme pour la fonction qui nous interesse.

Désolé d'abuser de ta patience

Posté par
Laurieriere : Convergence 10-02-07 à 00:00

Ah ok je comprend mieu en fait maintenant que tu a mis E(1/alpha)+1 et je pense que ma question est inutile

Posté par
Laurieriere : Convergence 10-02-07 à 00:07

Pour ce qui est du résultat admis je vais le chercher demain( trop fatigué ce soir) et si je n'y arrive pas je te fais signe.

Merci beaucoup pour ta démarche j'ai appris beaucoup de choses ce soir.

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 10-02-07 à 00:07

Citation :
Désolé d'abuser de ta patience

Mais non, aucun problème !

Citation :
En fait j'ai une derniere question avant d'aborder cela: quand on traduit la convergence uniforme ici , on écrit que v/n+x tend vers x ou on utilise la défnition de la limite pour les suites (il existe un N tq pour tout n>N ...).


Citation :
Ah ok je comprend mieu en fait maintenant que tu a mis E(1/alpha)+1 et je pense que ma question est inutile


donc tu auras compris que c'est avec les suites !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 10-02-07 à 00:08

Citation :
Pour ce qui est du résultat admis je vais le chercher demain( trop fatigué ce soir) et si je n'y arrive pas je te fais signe.

Merci beaucoup pour ta démarche j'ai appris beaucoup de choses ce soir.


OK ! à bientôt sur l' !

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 10-02-07 à 19:28

Bonjour kaiser. Je me suis intéréssé à l'exercice qu consiste a montrer qu'une fonction périodique est uniformément continue. En fait elle est ce qu'on peut dire que si elle est uniformément continue sur chaque segment alors elle l'est sur l'union de ces segments?? Il me semble que oui car nous en avions fait la démonstration l'année dernière.

Néanmoins je suis intéréssé par l'autre méthode. Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 10-02-07 à 20:51

Citation :
En fait elle est ce qu'on peut dire que si elle est uniformément continue sur chaque segment alors elle l'est sur l'union de ces segments??


Justement non !
En effet, si tu te fixes un \Large{\varepsilon}, pour chaque segment tu vas avoir un \Large{\alpha} qui va marcher mais ensuite il faut en trouver un qui marche pour tous les segments et on aimerait bien prendre le plus petit sauf qu'il n'existe pas forcément !

D'ailleurs, si ce que tu dis était vrai alors toute fonction continue serait uniformément continue car elle est uniformément continue sur tout segment (par Heine).
Je poste un message pour démontrer qu'une fonction continue et périodique est uniformément continue.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 10-02-07 à 21:16

Soit T > 0 et f une fonction T périodique et continue sur \Large{\mathbb{R}}, alors f est uniformément continue.

Preuve :

Fixons \Large{\varepsilon > 0}.
f est continue sur le segment \Large{[0,T]}, donc d'après le théorème de Heine, f est uniformément continue sur \Large{[0,T]}.

Ainsi, il existe \Large{\alpha > 0} tel que pour tous x et y appartenant à [0,T] l'inégalité \Large{|x-y|\leq \alpha} implique que \Large{|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon}

Quitte à diminuer \Large{\alpha}, on peut toujours supposer que \Large{\alpha < \frac{T}{2}} (pour être tranquille).

Soit maintenant x et y des réels quelconques vérifiant \Large{|x-y|\leq \alpha}.
Par symétrie, on peut supposer par exemple que \Large{x\leq y}.

Alors il y a deux cas possibles :

1er cas : il existe un entier relatif n tel que x et y soient dans l'intervalle \Large{[nT,(n+1)T]}

2ème cas : il existe un entier n tel que \Large{(n-1)T\leq x\leq nT\leq y\leq (n+1)T}


Traitons le premier cas :


on a donc que x-nT et y-nt sont dans l'intervalle [0,T].
De plus, \Large{|(x-nT)-(y-nT)|=|x-y|\leq \alpha}

Donc par définition de \Large{\alpha}, on a \Large{|f(x-nT)-f(y-nT)|\leq \varepsilon}

Par T-périodicité de f, on a : \Large{|f(x)-f(y)|\leq \varepsilon}

À présent, le deuxième cas :

|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-f(nT)|+|f(nT)-f(y)||

Or \Large{|nT-x|\leq |x-y|\leq \alpha} et les réels nT et x vérifient les hypothèses du premier cas, donc \Large{|f(x)-f(nT)|\leq \varepsilon}.
Pour les mêmes raisons, on a \Large{|f(y)-f(nT)|\leq \varepsilon}

Ainsi, \Large{|f(x)-f(y)|\leq 2\varepsilon}

Dans tous les cas, on a \Large{|f(x)-f(y)|\leq 2\varepsilon}

D'où la continuité uniforme de f.

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 10-02-07 à 21:48

Ok et bien merci pour cette démonstration. Cela me parait néanmoins un peu compliqué vu comment la question est posée dans le problème. Derniere petite question, pour le plus petit des alpha n'existe pas forcément?

Merci encore

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 10-02-07 à 22:06

Je t'en prie !

Citation :
Cela me parait néanmoins un peu compliqué vu comment la question est posée dans le problème.

C'est vrai !
En fait, je crois qu'on peut faire autre chose : on peut montrer que ça converge uniformément sur le segment \Large{[0,2\pi]} et que \Large{\sup_{x\in \mathbb{R}}|f_{n}(x)-f(x)|=\sup_{x\in [0,2\pi]}|f_{n}(x)-f(x)|}

Ensuite, c'est fini et donc on n'a pas besoin de ce que j'ai fait précédemment !

Citation :
Derniere petite question, pour le plus petit des alpha n'existe pas forcément?


Pour chaque segment, tu considère le \Large{\alpha} qui lui correspond.
Maintenant, comme il y a une infinité de segment, les \Large{\alpha} peuvent être de plus en plus petits, voire trop proches de 0. C'est ce qui arrive pour une fonction continue mais non uniformément continue, par exemple, la fonction carrée.

Kaiser

Posté par
Laurieriere : Convergence 10-02-07 à 23:11

Ok c'est vrai que c'est beaucoup plus court mais je prend note de la démonstration si j'en ai besoin un jour

Merci pour tout, bonne fin de soirée !

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence 10-02-07 à 23:12

Mais je t'en prie !
Bonne soirée à toi aussi !


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