Niveau Maths sup

convergence

Posté par
Ykroxor 11-06-05 à 10:01

Salut je voulais juste avoir un petit coup de main puor justifier la convergence absolue de la serie $\sum k(p(1-p)^{k-1}(2-(2-p)(1-p)^{k-1})$ .
J'aurai pensé dire que $kx^{k}$ converge en mettant $1/(1-p)$ en facteur dans la première parenthèse et dire que $(1-p)^{k-1}$ est le terme général d'une série géométrique :
$|(1/(1-p))k(1-p)^{k}(2-(2-p)(1-p)^{k-1}|$
Mais je ne sais pas si j'ai le droit de conclure
Merci d'avance. Jéjé

Posté par titimarion (invité)re : convergence 11-06-05 à 12:42

Salut,
En fait tu peux scindé ta somme en deux, en effet si les deux sommes converges alors ta somme initiale convergera (attention la récirpoque est fausse)
Ainsi $\displaystyle\sum_{k=0}^nk(p(1-p)^{k-1}(2-(2-p)(1-p)^{k-1})=2p\sum_{k=0}^nk(1-p)^{k-1}-p(2-p)\sum_{k=0}^nk((1-p)^2)^{k-1}$
et tes deux sommes convergent bien si $0<p\le 1$ tu peux même calculer la somme si tu veux.

Posté par Yalcin (invité)re : convergence 11-06-05 à 14:14

Bonjour

Titimarion a répartie la somme en deux sommes, ce qui était facile à faire d'ailleurs, et je remerci titimarion pour sa rapidité.

Et après je propose la formule suivante : $\sum\limits_{k = 0}^n {kx^k } = \frac{{x(1 + x^n (n(x - 1) - 1))}}{{(x - 1)^2 }}$

Voilà c facile après en étudiant x qui vaut ici (1-p) et (1-p)²

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