Niveau Licence-pas de math

Convergence

Posté par
maya14 11-08-22 à 18:53

Bonjour, j'ai du mal à répondre à un exercice. Je vous mets ci-joint l'énoncé ainsi que mes réponses.

i) $u_n=\frac{a^nn^n}{n!}=\frac{a^{n+1}n^{n+1}}{(n+1)!}\times \frac{n!}{a^nn^n}=\lim \frac{an}{n+1}=a$
$lim \frac{n}{n+1}\ = 1$

ii) $\lim \frac{an}{n+1}=a$

Je ne suis pas sûre de mes résultats. Pour la troisième question, je ne sais pas comment m'y prendre.

** image supprimée **

Posté par re : Convergence 11-08-22 à 19:01

Bonjour maya14

peux-tu recopier ton énoncé s'il te plaît, tu as 4 lignes...(indispensable pour le référencement des sujets)

extrait de la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?

Posté par re : Convergence 11-08-22 à 19:09

Oui, bien sûr !

Voici l'énoncé :

Soit a un réel non nul. On considère la série de terme général $u_n=\frac{a^nn^n}{n!}$

i) On pose a =1. Etudier la convergence de la série de terme général $u_n$

ii) Soit a>1. Etudier la convergence de la série de terme général $u_n$

iii) Montrer que la série de terme général $u_n$ converge pour $\left|a \right|<\frac{1}e{}$

Posté par re : Convergence 11-08-22 à 22:08

salut

la question 3/ donne donc la réponse aux questions précédentes ...

ensuite ta première ligne latex ne va pas du tout :
- la deuxième égalité ne va pas ...
- que vient faire ce terme lim au beau milieu de cette suite d'égalités ...

Posté par re : Convergence 14-08-22 à 01:06

Pour ton calcul, c'est plutôt:

$\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{a^{n+1}(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \frac{n!}{a^n\cdot n^n}=a\frac{(n+1)^{n}}{n^n} = a \left( \frac{n+1}{n}\right)^n$
$a \cdot e^{n\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)}=a\cdot e^{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} \sim ?$
Maintenant, à toi d'utiliser une équivalence bien connue et une règle de ton cours pour conclure !

J'avoue ne pas comprendre pourquoi l'énoncer ne traite pas le cas a=1/e, c'est le plus intéressant , n'y a t-il pas un oublie à la question trois, ne serait ce pas plutot a <= 1/e ?