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convergence absolue ?

Posté par
pauppau 04-11-07 à 18:57

Voici la série suivante:
(-1)n/(3n+(-1)n)

Je dois dire si elle converge ou non, et si la série est convergente je dois dire si la convergence est absolue.

J'ai d'abord montrer que la série converge en posant Un=(-1)n/(3n+(-1)n)
et en calculant |Un|
J'ai différencié le cas où n est pair et n est impair.
|Un| tend bien vers 0 avec n pair ou impair.
J'ai ensuite posé f(x)=1/(3x+(-1)x)
J'ai calculé f'(x) en différenciant x pair , x impair.
f décroît dans les deux cas.
J'ai conclue que la série de terme général Un converge.

Mais je n'arrive pas à voir si elle converge absolument, je ne vois pas du tout comment faire.. j'ai cherché une équivalence mais je ne trouve pas. Enfin voilà, j'espère que vous pourrez m'éclaircir un peu

Merci d'avance

Posté par
lolo217re : convergence absolue ? 04-11-07 à 19:22

Bon déjà ce que tu as fait ne marche pas.

1) le plus simpl est toujours la convergence absolue : le terme général est en valeur absolue équivalent à  1/3n  série de Riemann divergente ce qui est réglé.

2) si tu veux prouver que c'est un esérie alternée il faut prouver que le module du terme général décroit....et pas que les sous suites des termes pairs et impairs le font !!

La façon la plus sûre est de procéder autrement par un développement limité

Posté par
Roulianere : convergence absolue ? 04-11-07 à 19:24

Bonjour,

Citation :
1) le plus simpl est toujours la convergence absolue : le terme général est en valeur absolue équivalent à  1/3n  série de Riemann divergente ce qui est réglé.


Ca ne règle pas grand chose vu ici car on ne peut rien dire sur la série de terme général Un.
Ou alors j'ai pas compris ce que tu voulais dire

Posté par
ottore : convergence absolue ? 04-11-07 à 19:28

Non mais la première question était celle de la convergence absolue, donc ça la règle.

Posté par
lolo217re : convergence absolue ? 04-11-07 à 19:31

Disons que ça régle la seconde question ou celle du titre . De toutes manières ça me semblerait plus logique de commencer par là ....sauf pour tromper l'ennemi

Posté par
pauppaure : convergence absolue ? 04-11-07 à 19:37

Merci  de m'avoir répondu,
Par contre je ne connais pas les séries de Riemann, c'est une sorte de critère en plus ou bien c'est juste parce que la série de terme générale 1/n diverge donc 1/3n diverge aussi??

Et j'ai encore une question, si la série diverge c'est sûr qu'elle n'est pas alternée ?

Posté par
pauppaure : convergence absolue ? 04-11-07 à 19:39

et encore autre chose |3n+(-1)n| est équivalent à |3n| le (-1)n ne gêne pas ??

Posté par
ottore : convergence absolue ? 04-11-07 à 19:44

On ne change pas la nature d'une suite en la multipliant par une constante.

Pour l'équivalent, essaie et tu verras.

Posté par
lolo217re : convergence absolue ? 04-11-07 à 19:44

la série de terme général 1/n est une série de Riemann divergente,
oui  3n + bornée  est équivalent à  3 n

la séride n'est pas absolument convergente , il te reste à voir si elle converge !!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence absolue ? 04-11-07 à 20:34

Bonsoir ;

Pour \fbox{n\in\mathbb{N}^*} notons \fbox{S_n=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{3k+(-1)^k}}.
En séparant les indices pairs et impairs on a \fbox{S_{2n}=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{6k+1}-\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{6k-4}=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{-5}{(6k+1)(6k-4)}} ,
la suite (S_{2n}) est donc convergente ,
et comme \fbox{(\forall n\in\mathbb{N}^*)\hspace{5},\hspace{5}S_{2n-1}=S_{2n}-\frac{1}{6n+1}} on voit que la suite (S_{2n-1}) est convergente vers la même limite .


\fbox{\fbox{N.B}} Maple donne 3$\blue\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+(-1)^n}=-1+\frac{1}{3}\ell n(2)+\frac{1}{18}\pi\sqrt3} (sauf erreur)

Posté par
gui_toure : convergence absolue ? 04-11-07 à 20:40

Bonsoir

Juste une question à Ehlor : sur Maple, j'ai beau lui demander limit(sum.. ou encore sum(..n=0..+infinity), ce méchant Maple ne me donne rien
Une solution ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence absolue ? 04-11-07 à 20:46

Voilà ce que j'ai demandé à Maple ,

sum(-5/((6*n+1)*(6*n-4)),n=1..infinity);

Posté par
gui_toure : convergence absolue ? 04-11-07 à 20:50

D'accord, merci Ehlor

Je lui ai demandé directement 3$\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+(-1)^n}, il n'a pas su. Je suis déçu

Posté par
pauppaure : convergence absolue ? 04-11-07 à 20:54

Je ne comprends pas comment vous déduisez que la série S2n converge à partir de l'expression que vous avez trouvé.
Car j'avais vu que
Si la série converge alors limUn=0 mais ce n'est pas une condition nécessaire et suffisante.. à moins que vous vous basez sur autre chose.
Pouvez vous m'expliquer svp ?

Posté par
pauppaure : convergence absolue ? 04-11-07 à 21:24

et autre chose, je ne vois pas du tout comment je peux trouver la limite que vous avez trouvé avec Maple.. je dois le faire à la main,.. et je ne sais pas comment faire.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence absolue ? 04-11-07 à 21:40

Quel est ton niveau scolaire pauppau ?

Posté par
pauppaure : convergence absolue ? 04-11-07 à 21:40

Je suis en deuxième année de licence

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence absolue ? 04-11-07 à 21:44

OK ,

alors tu dois savoir que la série de terme général \frac{1}{n^{\alpha}} est convergente si \alpha>1

Posté par
pauppaure : convergence absolue ? 04-11-07 à 21:47

Oui exact, et là comme ici a=1 ca diverge..
Mais je n'ai toujours pas compris comment vous avez fait pour dire que S2n converge et comment je peux faire pour trouver la limite
Pouvez vous m'expliquer svp ?
Dsl d'être chiante, mais je ne comprends pas

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence absolue ? 04-11-07 à 22:03

Comme tu le vois , la suite (S_{2n}) est aussi la suite des sommes partielles de la série de terme général u_n=\frac{-5}{(6n+1)(6n-4)}
et comme |u_n| est équivalent (à l'infini) à \frac{5}{36n^2} , la série de terme général u_n est absolument convergente
donc convergente (tout court) (sauf erreur)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence absolue ? 05-11-07 à 11:48

Pour le calcul de la somme 2$\fbox{S=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+(-1)^n}} la réponse de Maple me donne l'idée suivante ,

\fbox{S=\lim_{n\to+\infty}\Bigsum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{3k+(-1)^k}=\lim_{n\to+\infty}\Bigsum_{k=1}^{n}(\frac{1}{6k+1}-\frac{1}{6k-4})=\lim_{n\to+\infty}\underb{\fbox{\Bigsum_{k=1}^{n}\int_{0}^{1}(x^{6k}-x^{6k-3})dx}}_{S_{2n}}}

\fbox{S_{2n}=\int_{0}^{1}((1-\frac{1}{x^3})\Bigsum_{k=1}^{n}x^{6k})dx=\int_{0}^{1}\frac{x^{6n+3}-x^3}{1+x^3}dx} et comme \fbox{\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^{6n+3}}{1+x^3}dx=0} ,
on voit que 3$\blue\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+(-1)^n}=-\int_{0}^{1}\frac{x^3}{1+x^3}dx} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence absolue ? 05-11-07 à 13:40

Je crois qu'une erreur s'est glissée dans mon calcul précédent ,

on a plutôt \fbox{S_{2n}=\int_{0}^{1}((1-\frac{1}{x^5})\Bigsum_{k=1}^{n}x^{6k})dx=\int_{0}^{1}\frac{(x^{6n+1}-x)(x^5-1)}{x^6-1}dx}
d'où (par le même argument que celui du post précédent) ,

3$\blue\fbox{\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+(-1)^n}=-\int_{0}^{1}\frac{x^6-x}{x^6-1}dx}} (cette fois c'est bon)

Posté par
pauppaure : convergence absolue ? 05-11-07 à 16:04

Bonjour,

Merci beaucoup pour cette réponse complète.. c'est une limite compliquée mais je pense avoir compris

Posté par
Mélodyare : convergence absolue ? 05-11-07 à 17:38

g besoin daide


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