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Convergence d’integrale
Bonjour, j'aurais besoin d'aide sur l exo suivant :
Soit f : R -> R continue telle que son integrale sur R+ converge. Soit a un reel strictement positif.
Montrer que l integrale sur R+ de f(t)exp(-at) converge.
J'ai essayé plusieurs IPP en faisant apparaître la primitive de f etc mais ça ne semble pas aboutir. Auriez-vous une idée ?
Si est une fonction intégrable positive et
est continue et telle que
pour tout
, a ton avis, est-ce que
est intégrable ?
Et si oui, pourquoi ?
La réponse est oui mais je ne sais pas ce que tu appelles théorème de comparaison exactement.
Maintenant qu'est ce que tu pourrais bien prendre pour faire et pour h, au vu de ton énoncé ?
Ook je pense avoir le truc, effectivement c'etait plus simple que ce que je pensais ( l'exo etait dans la partie IPP alors je me suis obstiné à trouver une IPP, comme quoi …)
Merci
Bonsoir AlexQuiFlex et Ulmiere 
AlexQuiFlex il y a une petite imprécision dans ton énoncé,
Qu'entends-tu par :
Soit f : R -> R continue telle que son intégrale sur R+ converge
Est ce la convergence tout court c'est à dire que la fonction
ou est ce la convergence absolue c'est à dire que la fonction
Si c'est la convergence absolue c'est comme t'a expliqué Ulmiere.
Si c'est la semi-convergence (comme c'est le cas par exemple pour la fonction sinus cardinal) il me semble qu'une IPP n'est pas une mauvaise idée 
Bonsoir AlexQuiFlex
En effet, cela ne faisait pas reference à la convergence absolue
Je m'en doutais
Si on note
une IPP donne pour tout réel
je te laisse alors voir pourquoi l'expression de l'encadré bleu ci-dessus admet une limite finie quand
sauf erreur de ma part bien entenduPar hypothese, comme l'integrale de 0 à +inf de f converge, alors F admet une limite finie en +inf. Donc F(t)exp(-at) tend vers 0 en +inf.
Il suffit donc de montrer la convergence de l'integrale de F(t)exp(-at).
Or par croissances comparées et comme F admet une limite finie en +inf,
F(t)exp(-at) = o(1/t^2) et on conclut par theoreme de comparaison sur [1, +inf[ et par le fait que F(t)exp(-at) est continue sur [0,1] segement. C'est ok ?
(Si F(t)<0 on fait -F(t)exp(-at) = o(1/t^2) pour se ramener au cas positif et pouvoir appliquer les theoremes de comparaison)
Bonjour. La fin ne nécessite pas de o(1/t^2). Il suffit de dire que sur R+, F est continue et admet une limite finie donc elle est bornée...
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