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convergence d intégrales avec paramètres
Bonjour à tous,
Les questions auquelles je suis confronté sont les suivantes:
Pour quelles valeurs du paramètre alpha l'intégrale suivante converge ( entre 0 et +
):
(1-(e-alpha*x*
(1+x)))/x²
Je pensais faire deux étapes: l'étudier entre 0 et 1 puis entre 1 et +.
Entre 0 et 1 j'ai poser cette intégrale comme étant équivalente à:
(1/x²) ( divergente en 0 car série de riemann ) + -e^(-x))/x²
car e-alpha*x équivaut à e^(-x) en 0 et (1+x) équivaut à 1 en 0. Après je suis perdu car je n'arrive pas à l'étudier en l'infinie et là je trouve une intégrale divergente pour tout alpha... 
De même je n'arrive pas à démontrer la convergergence des intégrales suivantes:
1/(((s-x)x)) ( entre 0 et s )
((x²+1)) /(((s-x)x)) ( entre 0 et s aussi )
Je vois bien qu'il s'agit d'intégrale à signe constant positifs mais le fait d'avoir "s" dans les paramètres de l'intégrale me trouble.Quelle approche utiliser ?
Merci par avance ( Benoît qui est vraiment bloqué )
J'ai reessayer j'y arrive vraiment pas ? Personne ne serait-ce que pour m'aider pour une question ou me donner la méthode?
Salut Benoît!
Pour ton premier exo, il faut procéder par étapes en fixant alpha.
1er cas: alpha=0, ta fonction est donc nulle donc intégrable sur [0,+inf]
2eme cas: alpha<0
Ta fonction que j'appelle f tend vers - inf lorsque x tend vers +inf. Donc non intégrable.
3eme cas: alpha>0
f est équivalente en +inf à 1/x² intégrable sur [1,+inf[
Au voisiange de 0, 1-e^(-alpha*x*(1+x)) est équivalente à alpha*x (pour alpha différent de 0 mais ça on le sait déja puisqu'on est ds le troisième cas). Donc f est équivalente en 0 à alpha/x non int sur ]0,1]
Je trouve que la fonction est intégrable seulement pour alpha=0 (y aurait-il une erreur?)
Pour l'exo 2:
- f est équivalente en 0 à (1/s)*(1/x). Tu peux sortir le terme 1/s de l'intégrale et 1/x est intégrable sur ]0,s/2]
f au voisinage de s est équivalente à (1/(s-x))*(1/s). Pareil c'est intégrable sur [s/2,s[. Si tu n'es pas convaincu, tu peux faire un chgt de variable et tu retombes sur le premier cas.
L'exo 3 se résout de la mm maniere.
Deux remarques:
- ma rédaction laisse à désirer, je confonds volontairement fonction et nombre.
- évite de faire des équivalences de somme d'intégrables. Travaille seulement sur la fonction à intégrer.
Bonjour Benoitt;
(*)Est ce bien ? signe de
?
(*)La fontion est equivalente en
a la fonction
et celle ci étant positive et intégrable sur tout intervalle de la forme
il en va de m^me pour
.
(*)Vu que conclure.
Sauf erreurs bien entendu...
Excusez moi, pour la première intégrale ( celle avec alpha ) il s'agit de (1-((e(-alpha*x))*((1+x))))/x²
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