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Convergence d'un produit infini
Bonjour,
J'étudie en ce moment la fonction gamma sous forme de produit, et je dois chercher le domaine de convergence, j'ai montré que le terme général du ln du produit de Gamma(x+1) est équivalent à:
Ce qui me donne automatiquement la convergence pour tout x de R, or je pensais qu'on avait convergence que pour les x>-1, et je vois pas mon erreur, pouvez vous m'aider?
Bonne après midi.
Bonjour Kuarcha,
si tu prends l'intégrale ne converge pas en 0 puisque l'intégrande est positif et équivaut en 0 à
avec
Tigweg
Bonjour Kuarcha
Non pas d'erreur. En effet, en analyse complexe, en étudiant la fonction Gamma de plus près, sous forme intégrale, on ne peut la définir que pour les complexe de partie réelle strictement positive mais on s'aperçoit qu'on peut la prolonger de manière holomorphe à privé des entiers négatifs.
La formule qui permet de faire ça est pour tout z complexe de partie réelle strictement positive.
Or on voit que l'expression de droite à un sens dès que z est non nul et de partie réelle strictement supérieur à -1. De proche en proche, on arrive à la prolonger à privé des entiers négatifs.
Bref, ce n'est pas étonnant.
Cela dit, le fait de prendre le log pour vérifier la convergence (qui sera cette fois la détermination principale du logarithme) on ne pourra le faire mais uniquement pour n assez grand.
OK ?
Kaiser
Pour l'intégrale je suis d'accord, mais la je suis sur sa forme de produit:
et justement je trouve que ca converge sur R, ce qui est pas logique
On ne la prolonge pas avec la formule des compléments pour l'intégrale?
Donc si j'ai compris:
Bien que le produit soit défini sur C/Z-, l'intégrale elle ne l'est que si Rz>0, donc la il faut la prolonger analytiquement.
Erreur?
On ne la prolonge pas avec la formule des compléments pour l'intégrale?
C'est une manière de faire mais la manière la plus naturelle (du moins lorsque l'on commence à étudier la fonction gamma) est d'utiliser la relation liant les valeurs en z et z+1, car la formule des compléments n'est pas triviale.
Bien que le produit soit défini sur C/Z-, l'intégrale elle ne l'est que si Rz>0, donc la il faut la prolonger analytiquement.
tatoucompris !
Le produit infini, quant à lui, donne une formule générale pour le prolongement holomorphe de la fonction gamma valable pour tout complexe z qui n'est pas un entier négatif.
Kaiser
okiki, merci beaucoup, parce que je dois rendre un mémoire sur cette fonction en Mai, et je trouvais des domaines incompatibles pour l'intégrale et le produit, merci
Bonne soirée à vous
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