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Convergence d'une espérance

Posté par
GWa 01-06-15 à 10:46

Bonjour,

Je suis tombé sur un exercice que je n'ai pas réussi à résoudre et dont je ne comprends pas la solution. Si qqn y voit plus clair que moi, je suis ouvert à toute suggestion:

On a X_1,X_2,... des v.a. i.i.d. positives et l'on définit T_0=0, T_k=T_{k-1}+X_k pour k\geq 1 et N_t=\inf\{k:T_k>t\}.
En utilisant le résultat déjà prouvé suivant:
Si t\to \infty, N_t/t\to 1/\mu, a.s. où \mu=E(X_i),
il faut montrer que Si t\to \infty, E(N_t)/t\to 1/\mu (la différence est donc que l'on que l'espérance converge).

La solution de l'auteur consiste à montrer que \limsup_{t\to\infty}E((N_t/t)^2)<\infty. Il le fait très bien mais je ne suis pas certain de comprendre à quoi ça sert. C'est probablement tout bête, mais je ne vois pas l'utilité de ce résultat. On aimerait bien utiliser la convergence dominée, mais j'ai pas l'impression que ça fournisse une borne.

Quelqu'un a une idée?

Posté par
miltonre : Convergence d'une espérance 02-06-15 à 00:37

salut
il faut remarquer que nT_k=\overline{X_n}

Posté par
GWare : Convergence d'une espérance 02-06-15 à 10:25

Salut milton,

Merci pour ta réponse, mais j'avoue que je n'arrive pas à te suivre. Est-ce que tu pourrais m'expliquer ce que tu entends par \overline{X_n} stp?

Posté par
GWare : Convergence d'une espérance 05-06-15 à 21:00

Désolé de déterrer ce sujet, mais je suis resté sur ma faim, avec cette réponse incomprise de milton. Est-ce que qqn a compris ce qu'il voulait dire? Où est-ce que qqn voit comment résoudre mon problème (indépendamment de ce que propose milton)? J'aimerais bien comprendre quand même parce qu'il me semble que j'ai vraiment pas compris un truc important (qui semble être trivial pour l'auteur).

Merci d'avance

Posté par
GWare : Convergence d'une espérance 08-06-15 à 15:02

Toujours personne?

J'ai un peu réfléchis à la réponse de milton et la seule façon que je vois d'interpréter sa réponse est que \overline{X_n} est la moyenne sur les n premier X_i, mais alors on aurait plutôt T_n=n\overline{X_n}. Cela dit je n'arrive toujours pas à comprendre en quoi ça répond à ma question.
Est-ce que qqn pourrait au moins me dire si le problème lui paraît aussi abscons qu'à moi?
Si ça se trouve quand Y_t\to \mu a.s. et que \limsup_{t\to\infty}E((Y_t)^2)}<\infty alors E(Y_t)\to \mu, pour n'importe quel processus Y_t, mais je ne vois pas pourquoi.


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