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Convergence d'une fonction

Posté par
lyceen 13-12-17 à 16:32

Bonjour,

Je voudrais poser une question dont la réponse me semble évidente, mais je reste convaincu qu'il a certainement un contre exemple... Mon professeur de maths a réussi à rendre ses élèves paranoïaques, si bien que ces élèves se méfient désormais dès qu'il pose une simple question.

Soit une fonction f(x) continue, dont la dérivée f'(x) tend vers 0 à l'infini :

\lim_{x\to +\infty} f'(x) = 0

Question : cela est-il suffisant pour affirmer qu'il existe un réel l \in \mathbb{R} tel que \lim_{x\to +\infty} f(x) =l ?

En d'autres termes, une fonction continue a-t-elle nécessairement une limite si la limite de sa dérivée en l'infini est 0 ? Cela me semble trop simple pour être vrai...

Merci par avance.

Posté par
Glapion Moderateurre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 16:45

Bonjour, une idée comme ça, si on écrit la fonction comme l'intégrale de sa dérivée :

f(x) = - f(a) + \int_a^x f'(t)dt
l'intégrale converge puisque f(x) a une limite finie.
si l'intégrale converge c'est que f '(x) tend vers 0 (parce que l'intégrale d'une fonction qui ne tend pas vers 0 n'est jamais convergente ? avec f continue, ça doit être vrai ça)

Posté par
Glapion Moderateurre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 16:48

C'est pas sur, ça. Si f'(x) a une limite alors c'est forcement
0 (ça c'est facile à démontrer par l'absurde) mais si elle n'a pas de limite alors on peut peut-être trouver des contre exemples tordus. mais avec f continu je pense que ça marche.
à vérifier.

Posté par
lyceenre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 17:13

Merci Glapion, j'avais eu cette idée de la démonstration par l'absurde.... mais je ne suis sûr de rien avec un tel prof qui chipote sans arrêt et rabaisse ses étudiants. Quant à la première idée, je n'y aurais pas pensé. Je vais réfléchir à la chose.

Il n'y a plus qu'à attendre la correction du DS début 2018  : j'ai oublié de mentionner qu'il s'agissait d'une question complémentaire (hors barême). Le thème est la  convergence de fonction,s suites et séries. Cette question donne 1 point de bonus... Pas sûr que beaucoup auront ce bonus, tellement cela paraît simple. Connaissant ce professeur, il doit y avoir un contre-exemple tordu. Mais quel rapport avec le thème du DS ?

Vivement la fin de cette seconde année de prépa, les maths (ou plutôt ce prof) vont finir par m'envoyer dans un hôpital psychiatrique Pour la première fois de ma vie, je ressens de l'hostilité envers elles !

Posté par
carpediemre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 17:31

salut

je ne comprends pas trop ce que fais Glapion

f(x) = \nt_a^x f'(t) dt - f(a)

que se passe-t-il si f'(x) = \dfrac 1 x  ? (pour x > 1 par exemple ...)

Posté par
lyceenre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 17:33

Dans ce cas... Nous avons trouvé le contre-exemple !!!

Bon sang, je ne suis même pas fichu de trouver un exemple aussi simple... Je vais abandonner mes projets d'ingénieur et me faire moine

Posté par
lyceenre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 17:34

Un grand merci carpediem ! Merci mille fois

Posté par
carpediemre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 17:36

\sum_1^{1000} \text {de rien}  

Posté par
Synarre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 17:41

Bonjour,
Comme l'a exhibé carpediem, si on cherche un contre exemple,
on veut soit une fonction qui oscille (mais ça semble juste plus dur à faire diverger qu'une fonction monotone vu qu'on ne fait que perdre du gaz),
soit une fonction qui  diverge de plus en plus lentement vers l'infini, et ça, c'est le logarithme.

(On peut aussi rapprocher ça d'une série divergente dont le terme général tend vers 0)

Posté par
Synarre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 17:42

(Sinon moine ça a l'air pas mal, mais y a pas mal de récession en ce moment)

Posté par
lyceenre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 17:47

Synar @ 13-12-2017 à 17:42

(Sinon moine ça a l'air pas mal, mais y a pas mal de récession en ce moment)


Cela dit, l'histoire regorge de moines savants.

Cela dit, je ne me prétends pas savant.

Posté par
carpediemre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 18:21

ni moine ni savant, juste homme ...

Posté par
Glapion Moderateurre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 18:31

Citation :

je ne comprends pas trop ce que fait Glapion

f(x) = \int_a^x f'(t) dt - f(a)

que se passe-t-il si f'(x) = \dfrac 1 x ? (pour x > 1 par exemple ...)


heu, il y a un truc que je n'ai pas compris.

on peut écrire que ln x = \int_1^x \dfrac{dt}{t}
on peut toujours écrire une fonction comme primitive de sa dérivée, non ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Convergence d'une fonction 13-12-17 à 18:54

Cela dit oui c'est vrai que c'est un bon contre exemple
la dérivée tend vers 0 et pas la primitive.

Posté par
Glapion Moderateurre : Convergence d'une fonction 14-12-17 à 11:36

En fait je me suis emmêlé les pieds parce que dans ma tête, je traitais le problème inverse : si f(x) a une limite à l'infini alors f'(x) tend forcement vers 0.

c'est vrai ça à votre avis ?

Posté par
jsvdbre : Convergence d'une fonction 14-12-17 à 11:58

Salut Glapion.
J'imagine que tu nous fait une blague ? x \mapsto \dfrac{\sin(e^x)}{x} est bien cochon comme contre-exemple en l'infini.

Posté par
jsvdbre : Convergence d'une fonction 14-12-17 à 12:05

Pour la petite histoire (mort de rire) :
je demande à un élève si il peut me citer une fonction qui tend vers 0 en l'infini et dont la dérivée diverge.
Il me dit pas de problème, regarde ... et il me sort presque la même : x \mapsto \dfrac{\sin(e^x)}{10^x} en me disant qu'elle doit "méga-foncer" en l'infini vers 0 et la dérivée doit être "super-cochonne".  

Pas d'bol ! J'ai dû calmer ses ardeurs sur le dénominateur.

Posté par
Glapion Moderateurre : Convergence d'une fonction 14-12-17 à 12:17

oui d'accord.

Posté par
luzakre : Convergence d'une fonction 14-12-17 à 15:33

Bonjour jsvdb !
Il y a même simplement x\mapsto\dfrac{\sin(x^2)}x

Posté par
jsvdbre : Convergence d'une fonction 14-12-17 à 15:51

Bonjour luzak
Oui, oui, je sais bien, mais j'ai pris avec l'exponentielle pour parodier une séance de cours particulier

Posté par
luzakre : Convergence d'une fonction 14-12-17 à 16:31

Je sais que tu sais, c'était juste pour avoir l'occasion de faire "coucou" !


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