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Convergence d'une série

Posté par
mithumain 23-05-08 à 23:38

Comment prouver que cette série diverge? n/(1+n2)

C'est vraiment évident qu'elle diverge, mais... impossible à prouver!

Avec le test de d'Alembert, ça me donne 1, donc ça ne dit rien, le test de Cauchy ne simplifie pas du tout, le test de comparaison non plus...

Ps. Je suis du Québec, alors désolé si j'ai indiqué le mauvais niveau. (j'ai essayé de mettre l'équivalent du mien)

édit Océane : forum modifié

Posté par
disdrometrere : Convergence d'une série 23-05-08 à 23:44

salut

tu connais des équivalents du terme général n/(1+n²)  ( en France c'est niveau Licence ..)

Posté par
lyonnaisre : Convergence d'une série 23-05-08 à 23:45

Bonjour

Si tu note :

u(n) = n/(1+n²)

Tu as pour tout n, u(n) positif et :

u(n) ~ 1/n

Or (1/n) diverge. Ce sont des séries à terme positif.

Donc u(n) diverge

Sauf erreurs ...

Posté par
lyonnaisre : Convergence d'une série 23-05-08 à 23:46

Oups désolé disdrometre ...

Posté par
disdrometrere : Convergence d'une série 23-05-08 à 23:49

hola le lyonnais

Posté par
mithumainre : Convergence d'une série 23-05-08 à 23:55

Je ne comprends pas, si je comprends bien vous dites que n/(1+n2) n/n2= 1/n

Mais, ce n'est pas une bonne preuve mathématique, d'après moi, puisque le premier terme est plus petit que le deuxième. Ça marcherait pour une convergence, mais pour une divergence...

Posté par
disdrometrere : Convergence d'une série 24-05-08 à 00:00

autre méthode , on minore le terme par un terme d'une série divergente

par exemple  n>5

n/(1+n²) > 1/2n

..

Posté par
mithumainre : Convergence d'une série 24-05-08 à 00:03

Ah, mais bien sur!

Test de comparaison mais remplaçant 1 par n2. Eh bien, merci.

C'était aussi simple.

Posté par
disdrometrere : Convergence d'une série 24-05-08 à 00:07

de rien

Posté par
gui_toure : Convergence d'une série 24-05-08 à 13:19

Bonjour à tous

Je rebondis juste sur un ptit truc :

Citation :
Mais, ce n'est pas une bonne preuve mathématique, d'après moi, puisque le premier terme est plus petit que le deuxième. Ça marcherait pour une convergence, mais pour une divergence...


Si si c'est parfaitement rigoureux.

Deux séries à termes positifs dont les termes généraux sont équivalents (en +oo) sont de même nature.

Et ça se démontre

Posté par
mithumainre : Convergence d'une série 24-05-08 à 17:59

Heu. Peut tu le démontrer stp?

D'après ce que je comprends, vous dites que si
lim           an    
n+
=lim            bn
  n+

alors an ~ bn

et an et bn divergent ou convergent en même temps. Ça me dit quelque chose. Cependant, je ne suis pas sur de la partie d'en haut. N'y avait-il pas une formule à appliquer? an/bn devrait être situé entre 0 et ?

Posté par
gui_toure : Convergence d'une série 24-05-08 à 18:21

Citation :
Soient 3$u,v\,\in{\bb R^N telles que :
            3$\forall n\in{\bb N},\;u_n>0\;v_n>0   et    3$u_n\sim_{+\infty}v_n

Alors les séries 3$\Bigsum u_n et 3$\Bigsum v_n sont de même nature.


Démonstration.

3$\lim_{n\to+\infty}\,\fr{u_n}{v_n}=1

donc   3$\forall \epsilon\in{\bb R}^*_+,\;\exists n_0\in{\bb N},\;\forall n\ge n_0,\;\|\fr{u_n}{v_n}-1\|\le \epsilon

En particulier avec 3$\epsilon=\fr12, il vient

3$\exists n_0\in{\bb N},\;\forall n\ge n_0,\;\fr12\,\le\,\fr{u_n}{v_n}\,\le\,\fr32

c'est à dire : 3$\fbox{\exists n_0\in{\bb N},\;\forall n\ge n_0,\;\fr12v_n\,\le\,u_n\,\le\,\fr32v_n

Premier cas : la série 3$\Bigsum v_n converge

Ainsi, puisque 3$\forall n\ge n_0,\;0<u_n<\fr32v_n, on a que 3$\Bigsum u_n converge (en effet, 3$\Bigsum \fr32v_n est également convergente)


Premier cas : la série 3$\Bigsum v_n diverge

Ainsi, puisque 3$\forall n\ge n_0,\;0<\fr12v_n<u_n, on a que 3$\Bigsum u_n diverge (en effet, 3$\Bigsum \fr12v_n est également divergente)

_____________________

Exemple : la série 3$\rm\Bigsum_{n\ge0} \fr{3n+4}{(5n+3)^3} converge.

en effet, en posant 3$\rm u_n=\fr{3n+4}{(5n+3)^3, on a 3$\rm\|u_n \sim \,\fr{3}{125}.\fr{1}{n^2}\\\forall n\in{\bb N}, u_n>0

Or 3$\rm\Bigsum_{n\ge1}\fr{1}{n^2} converge, donc notre série converge.

Sauf erreur

Posté par
Arkhnorre : Convergence d'une série 24-05-08 à 18:30

Bonjour.

Apparement, mithumain ne connait pas la définition de suites equivalentes.

Deux suites U_n et V_n sont équivalentes si 3$lim_{n\to+\infty}\frac{U_n}{V_n} = 1

Posté par
mithumainre : Convergence d'une série 24-05-08 à 18:30

Ce qui me dérange un peu c'est que je ne sait pas exactement que faire pour savoir si u<sub>n</sub>~v<sub>n</sub>

Si je trouve à chacun leur limite, ce n'est pas ça.

1/n! et 1/n ont la même limite, pourtant la somme de l'un diverge et celle de l'autre converge.

Et aussi le fait qu'on a pas vu ça en classe, lol.

Posté par
mithumainre : Convergence d'une série 24-05-08 à 18:32

Ah, tien, merci Arknor!

Posté par
Arkhnorre : Convergence d'une série 24-05-08 à 18:33

Si U_n et V_n convergent vers une limite non nulle, en effet, elles sont equivalentes ssi elles ont la meme limite.
En revanche, si elles divergent toutes les deux, ou si elles convergent vers 0, ca ne veut pas forcement dire qu'elles sont equivalentes. (en effet, d'après la définition au dessus, on tombe sur une forme inderminée, donc cela se traite au cas pas cas)

Posté par
gui_toure : Convergence d'une série 24-05-08 à 18:35

Bonjour Arkhnor et bien vu

mithumain >

3$\rm\;\Bigsum_{n\ge1} u_n converge \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty} u_n=0

MAIS

3$\rm\;\lim_{n\to+\infty} u_n=0 \not\Longrightarrow \Bigsum_{n\ge1} u_n converge

Posté par
mithumainre : Convergence d'une série 24-05-08 à 18:39

Mais, si Un ne tends pas vers 0, Un diverge automatiquement?

notre prof nous a clairement donné ça comme théorème.

Posté par
gui_toure : Convergence d'une série 24-05-08 à 18:40

Oui, si tu sommes des termes qui ne tendent même pas vers 0, la somme ne peut pas converger

Posté par
mithumainre : Convergence d'une série 24-05-08 à 18:41

Ah, gui_tou vient de le démontrer avant que je pose la question.

Bon, je devrait retourner terminer mon devoir, moi.


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