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convergence d'une série

Posté par
Galilée 04-10-09 à 19:27

Bonjour à tous,

je vous propose un exercice très intéressant, pour ceux qui aiment les séries

Etudier la convergence de la série de terme général :

U_n=\ln(\tan(\bigsum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^n}{2k+1})) \\ \\

Posté par
girdavre : convergence d'une série 04-10-09 à 19:55

Salut;
c'est (-1)^k dans la somme?

Posté par
Galiléere : convergence d'une série 04-10-09 à 20:22

oups ! oui c'est (-1)k

Posté par
girdavre : convergence d'une série 04-10-09 à 20:25

Je crois que l'on peut appliquer la règke de d'Alembert.

Posté par
Galiléere : convergence d'une série 04-10-09 à 20:30

je ne le fais pas avec cette règle... mais ta solution est la bienvenue !

Posté par
girdavre : convergence d'une série 04-10-09 à 20:34

En fait elle est longue à rédiger sans mon cher éditeur \LaTeX. Je vais néanmoins donner l'idée.
En fait on arrange le rapport en utilisant la formule \tan\(a+b\)=\fr{\tan a+\tan b}{1- \tan a \tan b} et on passe à la limite quand n tend vers l'infini.
Je trouve la série divergente, mais je vais revoir mes calculs.

Posté par
Galiléere : convergence d'une série 04-10-09 à 21:54

elle n'est pas divergente...

sauf erreur

Posté par
Galiléere : convergence d'une série 04-10-09 à 22:27

et puis je ne vois pas du tout comment tu "arranges" ce rapport... ça parait vraiment compliqué, je n'arrive toujours pas au bout de mes calculs.

Posté par
girdavre : convergence d'une série 05-10-09 à 18:03

On pose a=\sum_{k=1}^n\fr{\(-1\)^k}{2k+1} et b=\fr{\(-1\)^{n+1}}{2n+3}.
En ce qui concerne la tangente on a \tan \(a+b\)-\tan a = \fr{\tan a +\tan b }{1-\tan a \tan b}-\tan a = \fr{\tan a +\tan b -\tan a-\tan^2a\tan b}{1-\tan a \tan b} \\ =\fr{\tan b -\tan^2a\tan b}{1-\tan a \tan b}
Le dénominateur tend vers 1, et le numérateur tend vers 0, donc en passant au logarithme on voit que le module du rapport tend vers l'infini.

Posté par
jeansebre : convergence d'une série 05-10-09 à 18:43

Bonsoir

La somme ne commencerait-elle pas à k=0?

Posté par
jeansebre : convergence d'une série 05-10-09 à 18:50

Passque dans ce cas là, la série tend vers /4  (c'est a dire Arctan(1) ) donc la tangente tend vers 1 et le Log vers 0 (par continuité des fonctions).

Posté par
Galiléere : convergence d'une série 05-10-09 à 19:01

salut jeanseb,

effectivement la somme commence à k=0 et la série \bigsum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{2k+1} tends vers \frac{pi}{4}.
Tu as U_n tends vers 0... mais ce n'est pas la question.

On cherche la nature de la série de terme général Un

Posté par
Drysssre : convergence d'une série 05-10-09 à 20:14

L'idée serait d'avoir un DL a l'ordre 2 (pour avoir l'absolue convergence) de ta somme - pi/4.

Comment as tu fait pour déterminer ta limite? Peut etre qu'il est possible d'en tirer un DL en adaptant.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence d'une série 05-10-09 à 20:53

Bonjour ;

une idée :

en partant de l'identité 4$\fbox{\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=1+x+...+x^n}

on a , en faisant x=-t^2 , 4$\fbox{\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+...+(-1)^nt^{2n}\;+\;\frac{(-1)^{n+1}t^{2n+2}}{1+t^2}}

et par intégration sur [0,1] , 4$\fbox{\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{\pi}{4}+R_n} où 4$\fbox{R_n=(-1)^n\int_0^1\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}dt}

d'où 4$\fbox{tan(\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1})=\frac{1+tanR_n}{1-tanR_n}=1+\frac{2tanR_n}{1-tanR_n}}

et par suite 5$\blue\fbox{u_n=\ell n(tan(\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}))=\underb{\fbox{\frac{2tanR_n}{1-tanR_n}}}_{v_n}+\underb{\fbox{O(R_n^2)}}_{w_n}}

finalement il n'est pas dificile de voir que la série de terme général v_n est alternée ...
et que la série de terme général w_n est ... sauf erreur bien entendu

Posté par
Galiléere : convergence d'une série 05-10-09 à 22:12

joli !!!

j'avais fait presque la même chose, mais en utilisant taylor intégrale de la fonction arctan en 1... Puis en montrant que Rn tendait vers 0.


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