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Convergence d'une série

Posté par
Jean1418 15-01-23 à 17:24

Bonjour,
Connaissez-vous une suite (a_n)_{n\in \mathbb{N}^{*}} strictement positive telle que \sum_{n \geq 1} \frac{a_n}{n^t} converge exactement pour t \in \mathbb{R}^{+} (elle ne doit pas converger ailleurs, mais seulement pour t \geq 0) ?
J'avoue ne pas voir, évidemment a_n = \frac{1}{n} donne une convergence pour t>0 mais pas en t=0, et je n'arrive pas à perturber cette suite pour aboutir au résultat voulu...

Posté par
Ulmierere : Convergence d'une série 15-01-23 à 17:44

Ca marche pas avec une série harmonique...

Et avec une série de Bertrand ?

Posté par
verdurinre : Convergence d'une série 15-01-23 à 17:44

Bonsoir,
tu peux regarder les séries de Bertrand.

Posté par
Jean1418re : Convergence d'une série 15-01-23 à 18:17

Oui j'avais déjà essayé, ça ne semble pas marcher non plus, avec a_n=\frac{1}{n\ln(n+1)} qui est a priori le plus adapté, on n'a pas la convergence en t=0 par croissances comparées.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence d'une série 15-01-23 à 18:39

essayes avec a_n=\frac{1}{n\ln^2(n+1)}

Posté par
Jean1418re : Convergence d'une série 15-01-23 à 19:15

Mais ? Ça ne change rien... par croissances comparées

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence d'une série 15-01-23 à 19:20

Voyons ça !

La série \Large\boxed{\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^{1+t}\ln^2(n+1)}} est convergente pour tout \Large\boxed{t\in\mathbb R^+} non ?

Posté par
Jean1418re : Convergence d'une série 15-01-23 à 22:23

Ok je suis débile. Merci.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence d'une série 15-01-23 à 23:22

Non tu n'es pas débile disons qu'il fallait seulement que tu t'en assures

C'est comme t'a suggéré Ulmiere et verdurin les séries de Bertrand \Large\boxed{\sum_{n\geqslant2}\frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}(n)}}

convergent si et seulement si \Large\boxed{\alpha>1} (\beta quelconque) ou \Large\boxed{\alpha=1~\underline{et}~\beta>1}

et donc la série \Large\boxed{\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n^{1+t}\ln^2(n+1)}} converge si et seulement si \Large\boxed{t\in\mathbb R^+}


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