Niveau Maths sup

Convergence d'une série contenant la fonction ln(n)

Posté par boussole (invité) 02-12-07 à 23:52

Bonjour,

Je tente d'effectuer l'analyse de convergence de plusieurs séries, et je n'y arrive pas dès qu'elles contiennent des ln.

Exemples:

Déterminer si les séries suivantes convergent ou divergent:

$\sum_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{n \ln n})$

$\sum_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{(\ln n)^n})$

Je ne vois pas du tout comment y arriver.

Par exemple, j'ai essayé d'évaluer l'intégrale entre 1 et l'infini de la première, mais j'arrive au résultat suivant:

$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x \ln x}dx$

en posant u=ln x et du=1/x ...

$=lim_{b \to \infty}\ln ( \ln x )| _{1}^{b}$

$=\ln (\ln \infty) - \ln (\ln 1)$

$=\ln (\infty) - \ln (0)$ ... beurk! Ça converge ou pas ? Je ne sais trop comment interpréter ce résultat.

Quelqu'un aurait-il un indice?

Posté par boussole (invité)re : Convergence d'une série contenant la fonction ln(n) 03-12-07 à 00:52

J'ai fait une erreur. J'aurais dû évaluer mon intégrale entre 2 et l'infini et non 1 et l'infini. Ce qui me donne l'infini comme réponse, donc la série diverge.

Par contre, pour le deuxième problème, j'éprouve de la difficulté à l'intégrer. Est-ce que l'intégrale est la bonne voie à suivre pour celle-là aussi?

Posté par re : Convergence d'une série contenant la fonction ln(n). 03-12-07 à 00:59

Pour $n\ge3$ on a $0\le\frac{1}{\ell n(n)}\le\frac{1}{\ell n(3)}$ _{(sauf erreur)}

Posté par boussole (invité)re : Convergence d'une série contenant la fonction ln(n) 03-12-07 à 01:02

Je crois que ça commence à aller mieux...

Avec le critère de la racine n-ème (Cauchy), je trouve que la série converge.

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