Niveau doctorat

Convergence d'une série en fonction de paramètres

Posté par
Kantor2 14-07-22 à 19:05

Bonjour,

J'aimerais résoudre le problème suivant :

Pour a et b deux réels strictement positifs et pour n*, on pose u_n= $(\frac{n+1}{an+b})^{nln(n)}$

Etudier la nature de la série u_n en fonction des paramètres a et b.

Pour cela j'ai pensé à utiliser une comparaison avec une série de Riemann par exemple en multipliant u_n par n². Ce qui donnerait en écrivant $n^{2} = e^{2ln(n)}$ et en effectuant un développement limité :
u_n = $e^{ln(n)(3-ln(a)+\frac{1}{n}(1-bln(a))+o(\frac{1}{n}))$

Supposons ensuite que bln(a) = 1 :
Alors u_n tend vers 0 quand n tend vers + seulement si 3-ln(a) < 0 soit a > $e^{3}$

Si bln(a) 1 je ne parviens pas à trouver comment m'en sortir... (au passage si a = 1, alors la série diverge en multipliant la u_n par n et en faisant le même procédé (nu_n+))

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance et bonne soirée !

_{* modération > le niveau a été modifié en fonction du profil renseigné *}

Posté par re : Convergence d'une série en fonction de paramètres 14-07-22 à 20:01

J'ai des gros doutes sur ce $b ln(a)$ qui semble si important dans ton raisonnement.

$\dfrac{n+1}{an+b}$ tend vers 1/a

Si $a>1$ , à partir d'un certain rang $n_0$ , tous les termes $\dfrac{n+1}{an+b}$ sont inférieurs à (1/a + 1)/2.
Et donc la somme de tous les termes au delà de ce $n_0$ est inférieure à une somme d'une certaine suite géométrique.
Et on peut conclure.

Si $a < 1$ , c'est évident que la série diverge.

Si $a=1$ , on a 2 cas, soit $b> 1$ , soit $b \le 1$
Le cas compliqué, c'est le cas a=1 et b>1

Posté par re : Convergence d'une série en fonction de paramètres 14-07-22 à 22:57

Merci beaucoup pour cette réponse !

Si je résume :

Nous avons bien effectivement : $\frac{n+1}{an+b}$ $\frac{1}{a}$ quand n tend vers +

Par conséquent, >0,n₀,n,nn₀, $|\frac{n+1}{an+b} - \frac{1}{a}|$

En particulier, si a>1 en prenant = $\frac{1-\frac{1}{a}}{2}$ 0

Nous obtenons :
n₀,n,nn₀, $|\frac{n+1}{an+b} - \frac{1}{a}|$ $\frac{1-\frac{1}{a}}{2}$

Et par suite :
n₀,n,nn₀, $\frac{n+1}{an+b}$ $\frac{1+\frac{1}{a}}{2}$

Puis en choisissant n₁=max(n₀,3), afin de s'assurer que la puissance soit positive :
n,nn₁, $(\frac{n+1}{an+b})^{nln(n)}$ $(\frac{1+\frac{1}{a}}{2})^{nln(n)}$

Or ici, je ne vois pas comment vous revenez au cas d'une suite géométrique avec le ln(n) en puissance.

Néanmoins en multipliant le terme de droite par n² et en appliquant la méthode ci dessus, on parvient par comparaison avec une série de Riemann, dont la puissance est supérieure à 1, a montrer que la série $(\frac{1+\frac{1}{a}}{2})^{nln(n)}$ converge puis par comparaison des séries à termes positifs à montrer que la série u_n converge également.

Si a < 1, effectivement, la série diverge trivialement car ne tend pas vers 0.

En revanche si a = 1, $\frac{n+1}{an+b}$ $1$ quand n tend vers +, la série ne diverge-t'elle pas ?

Merci encore !

Posté par re : Convergence d'une série en fonction de paramètres 15-07-22 à 00:15

dans le cas a>1
On a un majorant de la forme y^{n ln(n)}
avec y<1

Or, pour n supérieur à 1, $n ln(n) > n$ .
Donc $y^{n ln(n)} < y^n$

Et on a la suite géométrique $y^n$ dont je parlais.

Le cas a=1 est beaucoup plus compliqué que ça. Certes la fraction tend vers 1.
si b=1, c'est facile.
Si b<1, c'est facile aussi.
Mais si b>1, c'est beaucoup moins évident.
J'ai juste fait quelques essais avec un tableur, je n'ai pas essayé de faire le travail 'mathématiquement' : pour b=10 ou 20, la série semble converger, alors que pour b=1.2 ou 1.3, elle paraît diverger.

Posté par re : Convergence d'une série en fonction de paramètres 15-07-22 à 10:02

Bonjour,

Dans le cas où a=1, la valeur critique de b me semble être 2.
Convergence pour b>2 (strictement) sinon divergence.
A vérifier.

Posté par re : Convergence d'une série en fonction de paramètres 15-07-22 à 15:23

Bonjour,

Pour étudier la convergence de la série terme général $u_n$ , il faut suivre les étapes du cours:

- Le terme générale $u_n$ est positif.
- Vérifier que cette suite converge vers 0, sinon la série ne converge pas. Pour que $u_n$ tende vers $0$ ; il faut que $\ln u_n$ tende vers $-\infty$

$a,b> 0; n\in\mathbb{N}^{*};u_n=\left ( \dfrac{n+1}{an+b} \right )^{n\ln n}; \\\\\ln u_n=n\ln n\ln \left ( \dfrac{n+1}{an+b} \right )=n\ln n\left [ \ln \left ( \dfrac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{b}{an} } \right )-\ln a \right ]\simeq -n\ln n \left (\ln a+\hdots\right )$
On connait le signe de $-n\ln n$ ; étudier le reste $\hdots$ .

Utiliser: $\ln(1 + x) =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} \hdots +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

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