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Convergence d'une suite
Bonjour,
Voici l'énoncé de mon problème :
Soient r un élément de ]0,1] et a un réel positif.
Soit (un)n
la suite réelle définie par u0 = a et :
n , un+1 = r + un - un/
(1+un2)
Etudier la convergence de la suite (un)n en fonction du réel r
Bon. Voici maintenant comment je commence l'exercice:
Je calcule un+1 - un (pas vraiment un calcul compliqué...) et je me dis que la serie avec ce terme general doit me donner la convergence ou non de la suite (deja j'ai peut etre faux mais bon)
le probleme, c'est que je n'arrive pas a determiner si la serie converge car je ne sais pas comment traiter le r qui est le noeud de l'exercice.
Merci de venir a mon secours
Bonjour,
As-tu étudié les méthodes d'analyse de telles suites par l'étude de la fonction obtenue en remplacant Un par x et Un+1 par y(x), soit ici :
y(x) = r + x -x/(1+x²) ?
Tu as un très bon exemple de "check-list" pour l'étude de telles suites ici : 
Bonsoir,
C'est très interessant comme méthode, est ce qu'elle marche a tous les coups ? certains mots de vocabulaire me sont inconnus (en l'occurence le terme "contractante") mais je vais chercher leur definition et essayer d'appliquer ta "check-list" a ma suite...
Merci et a tout à l'heure
Contractante, ça veut dire que ça réduit les distances :
|f(x2)-f(x1)| < |x2-x1|
C'est un cas particulier du concept plus général d'application lipschitzienne, tu trouveras plus de détails ici :
et ici :
Lorsque l'application est dérivable, ça se réduit facilement à une condition du type |f'(x)| < 1 ce qui est facile à tester.
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