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convergence d'une suite

Posté par
quentinloth 24-12-11 à 14:34

Bonjour,

voilà une démonstration que je dois prouver et je ne sais pas comment m'y prendre :

Soit un réel strictement positif.
Montrer que si (Un), avec n , est une suite convergente de limite , alors il existe un entier naturel n0 tel que : pour tout n supérieur ou égal à n0 : Un /2 .

Merci d'avance pour vos réponses

PS: j'avais pensé utiliser la définition de convergence d'une suite et de l'adapter pour avoir /2 mais je me perds dans la démonstration et ne parviens pas à un résultat concret

Posté par
Drassebre : convergence d'une suite 24-12-11 à 14:40

Bonjour,

ton idée est la bonne : et si tu regardais la définition pour \epsilon=\frac{\alpha}{2} ?

Cordialement

Posté par
Surbre : convergence d'une suite 24-12-11 à 14:40

Bonjour,

Tu peux procéder par l'absurde et utiliser la définition de la limite avec un epsilon < \alpha / 2 pour obtenir une contradiction.

Posté par
Camélia Correcteurre : convergence d'une suite 24-12-11 à 14:40

Bonjour

Ecris la définition de la convergence pour \varepsilon=\alpha/2

Posté par
Drassebre : convergence d'une suite 24-12-11 à 14:42

Oui, aussi. A noter que dans ma proposition, je ne fais que vérifier que du fait que la suite converge vers \alpha, il découle en particulier la condition demandée.

Posté par
Drassebre : convergence d'une suite 24-12-11 à 14:43

Je disais "oui, aussi" à propos de la réponse de surb, celle de Camélia étant la même que la mienne.

Posté par
Retire : convergence d'une suite 24-12-11 à 14:49

Tu sais que>0 n0N nn0 I Un- I<
Pour =/2 n0N nn0 I Un- I</2
c'est-à-dire -/2<Un-</2
ou encore /2<Un<3/2
Tu peux remplacer les inégalités strictes par des larges pour avoir ton résultat.

Posté par
sabagare : convergence d'une suite 24-12-11 à 14:55

on à:

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \alpha  \Leftrightarrow \forall \varepsilon  > 0:\exists {n_0} \in N/\forall n \ge {n_0}:\left| {{u_n} - \alpha } \right| \le \varepsilon \]

on suppose: \[\varepsilon  > 0\] avec \[\left| {{u_n} - \alpha } \right| \le \varepsilon \]

donc \[\begin{array}{l} \\ \left| {{u_n} - \alpha } \right| \le \varepsilon  \Rightarrow  - \varepsilon  \le {u_n} - \alpha  \le \varepsilon \\ \\ \Rightarrow  - \varepsilon  + \frac{\alpha }{2} \le {u_n} - \frac{\alpha }{2} \le \varepsilon  + \frac{\alpha }{2} \\ \end{array}\]

Posté par
sabagare : convergence d'une suite 24-12-11 à 15:02

merci Reti

\[\begin{array}{l} \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \alpha  \Leftrightarrow \forall \varepsilon  > 0:\exists {n_0} \in N/\forall n \ge {n_0}:\left| {{u_n} - \alpha } \right| \le \varepsilon \\ \\ \left| {{u_n} - \alpha } \right| \le \varepsilon  \Rightarrow  - \varepsilon  \le {u_n} - \alpha  \le \varepsilon \\ \\ \Rightarrow  - \varepsilon  + \frac{\alpha }{2} \le {u_n} - \alpha  + \frac{\alpha }{2} \le \varepsilon  + \frac{\alpha }{2}\\ \\ \Rightarrow  - \varepsilon  + \frac{\alpha }{2} \le {u_n} - \frac{\alpha }{2}\\ \\ \left( {\varepsilon  = \frac{\alpha }{2}} \right) \Rightarrow 0 \le {u_n} - \frac{\alpha }{2} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} \le {u_n} \\ \end{array}\]

Posté par
quentinlothremerciements 26-12-11 à 12:42

Merci à tous pour vos réponses, j'y vois plus clair !


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