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Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique

Posté par
fade2black 05-12-07 à 19:07

Bonjour,
j'ai un travail à réaliser en topologie, et j'ai choisi de traiter de l'utilité des suites pour caractériser des objets topologiques. Dans un premier temps, je donne quelques définitions valables pour un espace topologique (ouverts, suites, convergence d'une suite, valeur d'adhérence, compacité...). dans u nsecond temps, je souhaite me restreindre à un espace métrique, et donner des caractérisations séquentielles de toutes ces notions. Il me faut commencer par définir une suite (pas de problème) puis la convergence. La convergence a donc été définie par les voisinnages dans un espace topologique, et pour un espace métrique, je veux montrer que cette définition est équivalente à la définition qui fait intervenir les distances : c'est là qu'est le problème.
   Je veux donc montrer que si la distance entre Un et un élément L tend vers zéro, alors pour tout voisinnage V de L, il existe un N dans l'ensemble des naturels tel que quel que soit n>N, les Un sont dans V (et donc que (Un) converge vers L).
   On arrive vite à dire que pour tout epsilon, il existe N naturel tq quel que soit n>N, les Un sont dans la boule de centre L et de rayon epsilon. Pour conclure, il faudrait montrer A PARTIR DES DEFINITIONS DONNEES POUR UN ESPACE TOPOLOGIQUE que dans tout voisinnage de L on peut trouver une boule ouverte de centre L qui soit incluse dans V.
   Ma question est la suivante : est-il possible de démontrer ceci uniquement avec les définitions données dans un espace topologique ?  Si oui, est-ce que quelqu'un pourrait me donner au moins une piste ? Merci beaucoup à ceux qui seront arrivés à tout lire !

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 20:02

Autrement dit, y'a t-il moyen  de démonter une équivalence entre les deux définition en tête de cette page :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_convergente#Espace_m.C3.A9trique

(en se servant uniquement des définitions données dans un espace topologique)

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 20:03

Soit (E,d) un espace métrique.

Notion de la convergence topologique d'une suite de E:

Citation :
une suite de points (u_n) de E converge vers l si pour tout voisinage V de l, il existe un entier N\in \mathbb{N} tel que

n\geq N \qquad \Longrightarrow \qquad x_n\in V



Je crois qu'on peut affaiblir à une base de voisinages \mathcal{V}_l de l (si elle existe) :

Citation :
une suite de points (u_n) de E converge vers l si pour tout voisinage V\in \mathcal{V}_l de l, il existe un entier N\in \mathbb{N} tel que

n\geq N \qquad \Longrightarrow \qquad x_n\in V

Et dans les espaces métriques on a \{B(l,\varepsilon)\}_{\varepsilon>0} est une base de voisinages de l, on a donc:

Citation :
une suite de points (u_n) de E converge vers l si pour tout \varepsilon >0, il existe un entier N\in \mathbb{N} tel que

n\geq N \qquad \Longrightarrow \qquad x_n\in B(l,\varepsilon)


ie  

Citation :
n\geq N \qquad \Longrightarrow \qquad d(x_n,l)<\varepsilon.

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 20:57

Oui mais pour montrer que B(l,epsilon) est une base de voisinnage de l, il faut définir un voisinnage dans un espace métrique, non ? C'est à dire que si V est un voisinnage de l, alors il existe une boule ouverte de centre l contenue dans V. Le problème, c'est que je n'ai aps envie de poser de nouvelles définitions, je veux qu'on parte à chaque fois de la définition dans un espace topologique, et qu'on la simplifie dans le cas d'un espace métrique, et j'en viens à me demander si c'est réalisable !

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:00

la notion de voisinage est défini dans tout espace topologique, en particulier dans les espaces métriques.

Maintenant la définition d'un ouvert dans un espace métrique est bien spécifique et est en termes de boules ouvertes.

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:04

Oui mais dans un espace topologique, on définit un voisinnage de l comme un ensemble V contenant l tel qu'il existe un ouvert U avec U inclus dans V. La définition d'un voisinnage dans un espace métrique est différente : "si V est un voisinnage de l, alors il existe une boule ouverte de centre l contenue dans V". Pour montrer que B(l,epsilon) est une base de voisinnage, j'ai besoin de passer par cette seconde définition, alors que j'aimerais ne pas avoir à l'énnoncer...

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:08

Et je veux à tout pris éviter de donner la définition d'un ouvert en passant par les boules ouvertes (U est ouvert si pour tout x dans U il existe epsilon tel que B(x,epsilon) est inclus dans U), parce qu'une fois que j'aurai donné la définition espilonnesque de la convergence d'une suite dans un espace métrique, je compte définir séquentiellement l'adhérence, puis les fermés et enfin les ouverts (par complémentaire)

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:09

Non pas besoin de trente-six définitions, tu définis els voisinages dans un espace topologique quelconque,

et tu peux rajouter à titre de remarque ou propriété que

dans un espace métrique E, si V est un voisinage de l, alors il existe une boule ouverte de centre l contenue dans V (immédiat). (Les deux définitions coïncident).

Ensuite, tu peux rajouter comme propriété que dans un espace métrique les boules B(l,epsilon) forment une base de voisinages de l. (C'est assez utile)

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:13

Si tu comptes  définir la définition séquentielle de l'adhérence,
il faudra parler de base de voisinages ouverts dénombrables, parce que elle ne se définit pas dans n'importe quel espace topologique,
mais elle se définit bien dans les espace métriques E et pour pouvoir l'affirmer, il faut utiliser la base de voisinages dénombrables (B(x,1/n))_n, pour tous les  x de E.

Donc il faudra bien y paser tôt tou tard

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:16

"si V est un voisinage de l, alors il existe une boule ouverte de centre l contenue dans V (immédiat)"

Comment tu montres ça ?
Je vois qu'une façon : en disant que par définition d'un voisinnage V de l dans un espace topologique, il existe un ouvert U contenant l inclus dans V, et que par définition d'un ouvert DANS UN ESPACE METRIQUE (là est le problème je veux pas donner cette déf), il existe une boule ouverte B de centre l contenue dans U (et on a donc B incluse dans V) ?

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:18

Citation :
et que par définition d'un ouvert DANS UN ESPACE METRIQUE


C'est embêtant si tu définis pas les espaces métriques, tu ne peux alors pas parler d'espace métrique.

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:23

Comment tu définis la topologie \mathcal{T}\subset \mathcal{P}(E) qu'on considère quand on étudie des propriétés topologiques sur l'espace métrique (E,d)?

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:27

Lol je crois qu'on a du mal à se comprendre (merci en tout cas de ta patience). Je donne des définitions générales dans un espace topologique. Je définis ensuite ce qu'est un espace métrique (oui quand même), et je veux y adapter toutes les définitions précédentes. Là je reste bloqué sur un point : dire que dans un espace métrique, une suite (un) converge ssi d(un,l)->0. C'est souvent présenté comme une définition dans les cours, mais un espace métrique étant un espace topologique, il devrait y avoir équivalence entre les deux définitions pour les espaces métriques. Tu comprends alors que pour démontrer cette équivalence, je ne peux pas me servir de la définition d'un ouvert DANS UN ESPACE METRIQUE (la definition avec les boules). Tu vois mon problème ? Sinon c'est pas graven j'ai pas envie de te prendre la tête plus longtemps !

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:29

En fait je définis une topologie comme une classe stable par intersection finie et par union quelconque, puis je dis qu'un espace topologique est la donnée d'un ensemble et d'une topologie sur cet ensemble. Je donne quelques définitions relatives aux espaces topologiques (en particulier convergence d'une suite).
Après ,ej défini ce qu'est une distance, et je dis qu'un espace métrique est la donnée d'un ensemble et d'une distance sur cet ensemble. J'en suis alors au point où je veux définir la convergence d'une série.

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:40

oui quand tu parles de convergence en fait sur ton espace métrique,
tu utilises une topologie associée à la distance d qui est définie avec les boules ouvertes.

C'est surtout ça qui est intéressant dans un espace métrique.

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 21:49

Tu veux dire que lorsque je parle d'espace métrique, il faut que je définisse une topologie sur mon espace ? Et que je fasse ainsi intervenir le concept de boule ouverte... Oui, si je définis les ouverts sur mon espace métrique (et tu m'as convaincu que c'était nécessaire), alors je vois mieux comment procéder.

Bon le truc marrant parmi toute cette topologie c'est que je viens de remarquer que tu es en L3 à Montpellier, et que c'est aussi mon cas On fait ce travail de topo pour les TEO, et je crois qu'une petite visite chez Thibault s'impose avant d'aller plus loin : on galère pas mal.

Merci d'avoir passer tout ce temps à m'aider en tout cas !

Florent

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:00

oui j'avais pas vu effectivement, j'ai déjà fait ce travail avec thibault l'année dernière.

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:04

T'as fait ce truc en L2 ? (t'es bien en L3 là?)
Vous faisiez topo avec thibault ou alors c'était pour un truc genre TEO ?

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:07

j'étais aussi en L3 l'année dernière, et pour le 6e semestre il a demandé à faire un cours topo /fonctions numériques à partir d'un bouquin qui était bien plus étoffé. Ca s'appelait TER je crois, il y avait une partie orale et une partie écrite.

Posté par
Rodrigore : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:08

J'apporte mon grain de sel.

Un espace métrique est canoniquement mnui d'une topologie celle définie par la distance et donc une base dde voisinage est donnée par les boules ouvertes, c'est la topologie dite métrique.

Dans un espace métrique, la convergence pour la distance est equivalente à la convergence pour la topologie métrique, otons la Ot. Maintenant s'il te prend l'envie de munir ton espace métrique d'une autre topologie O de sorte que (E,O) et (E,Ot) ne soit pas homéomorphes alors les notions de convergences différeront en général.

Par exemple R muni de sa métrique usuelle est un espace topologique. On peut le munir de la topologie de Zariski, et alors on a plus du tout les meme notions de convergence.

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:13

Pour romu : tu veux dire que tu faisais L2 et L3 en même temps ??

Pour rodrigo : merci pour ces clarifications, même si le nom de Zariski m'évoque pas plus que ça je vois bien mon problème (du moins j'éspère) : pour parler de convergence, il m'est nécessaire de définir une topologie (ce que je n'avais pas fait dans le cas d'un espace métrique).

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:14

Bonsoir rodrigo, euh j'arrive pas à voir si la topologie de zariski est séparée sur IR ?

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:15

Non L3 tout court

Citation :
pour parler de convergence, il m'est nécessaire de définir une topologie (ce que je n'avais pas fait dans le cas d'un espace métrique).


oui c'est ça.

Posté par
Rodrigore : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:16

Elle ne l'est pas!

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:18

Citation :
Elle ne l'est pas!


oui mais comment le voit-on?

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:20

Mais t'es bien en L3 aussi cet année ? Y'a un Romuald en L3 qui a eu une très bonne note au DS de topo (cf espace pédagogique) et les Romuald forts en maths à Montpellier il doit pas y en avoir 150 ! Et vu comme tu as l'air de gérer, j'écarte l'hypothèse du redoublement...
Décidément, je croyais que c'était juste en topologie que j'avais du mal à comprendre mais en fait c'est pour tout !

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:26

si je double ,

j'ai pas compris ces notions de topo très vite, et ça me paraît toujours pas si évident que ça, c'est bien abstrait tout de même, et l'accroche peut être difficile au début.

Il ne faut pas sous-estimer la troisième année je pense.

Posté par
Rodrigore : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:26

Montre que deux ouverts se coupent toujours!

Posté par
fade2blackre : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 05-12-07 à 22:37

Oui c'est le moins qu'on puisse dire, je te connais pas mais un bref coup d'oeil sur tes posts me laisse penser que tu es très fort en maths (rien qu'à vous voir parler de topologie de zariski lol), le fait que tu redouble me donne à réfléchir... Allez je vous laisse débattre et je vous dit un dernier merci à tous les deux !

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 06-12-07 à 00:01

ok, donc soir F inclus dans \mathbb{R}.

F est un fermé de Zariski si il existe une famille finie de fonctions polynômiales de \mathbb{R} à une variable (p_i)_{i=1}^{i=n} tel que F=\bigcap_{i=1}^n p_i^{-1}(\{0\}).

Soient U, U' deux ouverts pour Zariski,

ie il existe deux fermés de Zariski F, F' tels que

U=\mathbb{R}\setminus F\\ \\ U'=\mathbb{R}\setminus F'

avec F=\bigcap_{i=1}^n p_i^{-1}(\{0\}), F'=\bigcap_{j=1}^m q_j^{-1}(\{0\}).

Donc

U= \bigcap_{i=1}^n \mathbb{R} \setminus p_i^{-1}(\{0\})\\ \\ U'= \bigcap_{j=1}^m \mathbb{R} \setminus q_j^{-1}(\{0\})


Et là je dois montrer que U\cap U'\neq \emptyset, c'est bien ça?

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 06-12-07 à 00:02

Pardon, je voulais dire:

3$U= \bigcup_{i=1}^n \mathbb{R} \setminus p_i^{-1}(\{0\})\\ \\ U'= \bigcup_{j=1}^m \mathbb{R} \setminus q_j^{-1}(\{0\})

Posté par
Rodrigore : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 06-12-07 à 00:02

Heu ce sont des reunions pour les ouverts mais oui c'est ça!

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 06-12-07 à 00:37

je crois que j'ai trouvé:

si U\neq \emptyset, ie il existe p_k\neq (x\rightarrow 0)

et

si U'\neq \emptyset, ie il existe q_l\neq (x\rightarrow 0)

p_k^{-1}(\{0\}) est donc vide ou fini, et il en est de même pour q_l^{-1}(\{0\}).

De plus F\subset p_k^{-1}(\{0\}) et F'\subset q_l^{-1}(\{0\}).

Donc F\cup F' est fini, donc il est clair que \mathbb{R}\setminus (F\cup F') est non vide,

et de plus  \mathbb{R}\setminus (F\cup F') = (\mathbb{R}\setminus F) \cap (\mathbb{R}\setminus F')=U\cap U'

d'où le résultat, sauf erreur

Posté par
romure : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 06-12-07 à 00:44

oui, du coup c'est clair que c'est pas séparé,

merci Rodrigo

Posté par
Rodrigore : Convergence d'une suite ds un espace topologique/métrique 06-12-07 à 00:45

Tu as tout fait tout seul mon cher


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