Niveau Licence Maths 1e ann

Convergence dans L2

Posté par
GWa 22-05-15 à 16:47

Bonjour,
Dans une lecture je suis tombé sur un nouveau détail qui me perturbe. $X_1,X_2,...$ sont des v.a. i.i.d et $T$ est un temps d'arrêt (stopping time en anglais) avec $E(T)<\infty$ , et l'auteur a montré que si $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ , alors $S_{T\wedge n}$ est une suite de Cauchy dans $L^2$ . L'auteur a également montré que $E(S_{T\wedge n}^2)$ converge vers une valeur fixée (disons $a$ ). Il déduit ensuite (et c'est là que je ne comprends pas comment il fait) que $\lim_{n\to \infty}E(S_{T\wedge n}^2)=E(S_{T}^2)$ , autrement dit que $E(S_{T}^2)=a$ .
Je sais que $L^2$ est un espace complet et donc que les suite de Cauchy convergent toujours vers un élément dans l'espace $L^2$ . Je déduis qu'il existe une variable aléatoire $Y$ telle que $E(Y^2)<\infty$ et $\lim_{n\to\infty}E((Y-S_{T\wedge n})^2)=0$ .
Mais je n'arrive pas à aller plus loin. Je ne sais pas si cela joue un rôle mais $E(X_i)=0$ et $E(X^2)=\sigma^2<\infty$ .

Au cas où il y aurait une ambiguïté je précise que $x\wedge y$ veut dire $\min(x,y)$ .
Est-ce que qqn y voit plus clair que moi?
Merci d'avance.

Posté par re : Convergence dans L2 22-05-15 à 17:04

Si H est un Hilbert et u : H est de Cauchy u converge vers un élément de c de H .
Alors la suite ║u║ converge vers ║c║ et donc ║u║² vers ║c║².

Posté par re : Convergence dans L2 23-05-15 à 11:25

Une fois de plus merci pour ta réponse etniopal.
Cependant je ne l'ai pas bien comprise, ou disons, j'ai un peu de mal à l'interpréter. Je suis d'accord avec ton énoncé, si "u converge vers un élément c de H" signifie convergence en norme $\|.\|$ (celle que tu utilise dans la phrase suivante). Hélas dans mon cas, on sait seulement que $S_{T\wedge n}^2$ converge ponctuellement vers $S_{T}^2$ , et a priori, pas nécessairement pour la norme $L^2$ (qui si j'ai bien compris est la norme $\|.\|$ à laquelle tu fais référence). On sait que $S_{T\wedge n}^2$ converge pour la norme $L^2$ vers un élément de $L^2$ , mais justement, je ne vois pas pourquoi ce serait $S_{T}^2$ . Est-ce que j'ai mal compris ou bien il y a effectivement matière à discuter?

Posté par re : Convergence dans L2 23-05-15 à 13:34

La convergence L2 implique la convergence en loi.
La convergence ponctuelle aussi, non ?
Unicité de la limite en loi ?

Posté par re : Convergence dans L2 24-05-15 à 18:45

Merci beaucoup pour ta réponse WilliamM007.
Par contre je ne vois pas pourquoi la convergence L2 implique la convergence en loi. Est-ce que tu arriverais à m'expliquer pourquoi?

Posté par re : Convergence dans L2 29-05-15 à 12:45

Bonjour à tous,

J'avoue que je suis un peu resté sur ma faim avec cette dernière réponse. Est-ce que qqn arriverait à me dire si la convergence L2 implique la convergence en loi?

Merci d'avance.

Posté par re : Convergence dans L2 29-05-15 à 13:06

Il est connu que la convergence L2 implique la convergence en probabilité, et la convergence en probabilité implique la convergence en loi.

Si $X_{n}$ converge L2 vers $X$ . Soit $\epsilon >0$ . Alors d'après l'inégalité de Markov,
$P(|X_{n}-X|>\epsilon)\leq\frac{E(|X_{n}-X|)}{\epsilon}$ .
Or par convexité de l'application carré :
$E(|X_{n}-X|)^{2}\leq E(|X_{n}-X|^{2})$ soit :
$E(|X_{n}-X|)\leq \sqrt{E(|X_{n}-X|^{2})}\to 0$ (bref la CV L2 implique la CV L1).
Donc $P(|X_{n}-X|>\epsilon)\to 0$ , ce qui montre que la CV L1 implique la CV en probabilité.

La partie qui montre que la CV en probabilité implique la CV en loi, je ne la connais pas par coeur alors j'ai fait un copier-coller de wikipédia () :

Soient X, Y des variables aléatoires réelles, c un réel et $\epsilon > 0$ . Alors
$\mathbb{P}(Y \leq c) \leq \mathbb{P}(X \leq c + \epsilon)+\mathbb{P}( X - Y > \epsilon)$
En effet :
$\{Y \leq c \} \subset \{X \leq c + \epsilon\} \cup \{ X > c + \epsilon, Y \leq c \}$

Pour tout ε > 0, en raison de ce lemme, on a:

$\mathbb{P}(X_n\leq a)\leq \mathbb{P}(X\leq a+\varepsilon)+\mathbb{P}(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)$

$\mathbb{P}(X\leq a-\varepsilon)\leq \mathbb{P}(X_n \leq a)+\mathbb{P}(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)$

On a donc

$\mathbb{P}(X\leq a-\varepsilon)-\mathbb{P}(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)\leq \mathbb{P}(X_n \leq a)\leq \mathbb{P}(X\leq a+\varepsilon)+\mathbb{P}(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)$ .

Soit $a$ un point de continuité de $F_X$ .
On fixe un réel $\varepsilon'>0$ .
Par continuité de $F_X$ en $a$ , il existe un réel $\varepsilon >0$ tel que $|P(X\leqslant a+\varepsilon)-P(X\leqslant a)|<\varepsilon'$ et $|P(X\leqslant \\ a-\varepsilon)-P(X\leqslant a)|<\varepsilon'$ .

De la convergence de $(X_n)_n$ en probabilité vers $X$ , on peut en déduire l'existence d'un entier $N$ tel que : $\mathbb{P}(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)<\varepsilon'$ si $n \geqslant N$ .

D'où : $\forall n \in \N, n\geqslant N \Rightarrow |P(X_n\leqslant a)-P(X\leqslant a)|<2\varepsilon'$ .

Posté par re : Convergence dans L2 29-05-15 à 14:46

Merci beaucoup William007!

C'est vrai que j'ignorais ce résultat. Il fallait penser à utiliser la convergence en proba... Mais grâce à toi c'est bon maintenant.

Je te souhaite un excellent weekend et merci encore.

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