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Convergence de deux séries

Posté par
Xenthys 27-12-11 à 22:56

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'aide pour trouver la convergence de deux séries.

Voici les énoncés:

1) On admet que \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}=ln(2). Montrer que la série est convergente et trouver la somme de la série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}.

J'ai dit que 1^2+2^2+...k^2=\frac{ k \times (k+1) \times (2k+1)}{6} que j'ai décomposé en éléments simples donc \frac{1}{1^2+2^2+...k^2}=\frac{6}{ k \times (k+1) \times (2k+1)} =\frac{6}{k}+\frac{6}{k}+\frac{6}{k+1}+\frac{-24}{2k+1}. Et là, je suis bloqué et je ne vois pas du tout le rapport avec l'indice proposé.



2) La deuxième série: Montrer que \sum_{k=1}^{\infty} arctan(\frac{1}{k^2+k+1})=\Pi/2. S'aider de tan(Sn).

Là encore je ne vois pas comment faire, j'avais décomposé Sn en Sn-1 +un avec un le terme general d'ordre n de la série mais ça na rien donné au passage aux tangentes et en utilisant les formules tan(a+b)= \frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)*tan(b)}.

Merci d'avance de votre aide!

Posté par
gui_toure : Convergence de deux séries 27-12-11 à 23:08

Salut

Tu as d'excellentes idées !

1) Reviens aux sommes partielles : S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2+...+k^2}=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{6}{k}+\dfrac{6}{k+1}-\dfrac{24}{2k+1}\right).

Maintenant tu peux te servir de : \sum_{k=1}^{2n+1}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}=\sum_{h=0}^{n}\dfrac{(-1)^{2h+1+1}}{2h+1}+\sum_{h=1}^{n}\dfrac{(-1)^{2h+1}}{2h}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}

Mais ce terme tend vers ln(2) ... je te laisse finir, on n'est plus très loin.

2) Pareil, reviens à la somme partielle. L'astuce ultime est de remarquer que \dfrac{1}{k^2+k+1}=\dfrac{(k+1)-k}{1+k\times(k+1)}

Posté par
Xenthysre : Convergence de deux séries 27-12-11 à 23:15

Génial! Merci beaucoup! Je vais voir tout ça.

Posté par
Xenthysre : Convergence de deux séries 27-12-11 à 23:44

J'ai juste du mal à comprendre d'où vient la deuxième somme dans le développement de \frac{(-1)^{k+1}{k}. Le premier terme s'obtient avec un changement d'indice k=2h+1 mais le deuxième? Désolé de ne pas comprendre ...

Posté par
Xenthysre : Convergence de deux séries 27-12-11 à 23:45

\frac{(-1)^{k+1}}{k} pour mon erreur de latex

Posté par
gui_toure : Convergence de deux séries 27-12-11 à 23:47

Je sépare la somme en deux parties, avec les indices impairs d'un côté (k=2h+1) et pairs de l'autre (k=2h)

Posté par
Xenthysre : Convergence de deux séries 27-12-11 à 23:47

Ah, merci beaucoup.

Posté par
gui_toure : Convergence de deux séries 27-12-11 à 23:48


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