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Convergence de séries

Posté par edouardbbr (invité) 03-12-06 à 19:35

Bonjour à tous. Je bloque depuis un moment sur la convergence de ces deux séries :

4$h_n = [n^{1+\frac{ln(ln(n))}{ln(n)}}]^{-1}

et voici la deuxième :

4$i_n = exp(-\sqrt{n^2-1})

merci de votre aide

Posté par
Matouille2bre : Convergence de séries 03-12-06 à 19:38

Salut !!!

Montre que h_n = \frac{1}{n \ln n}
(série de Bertrant qui diverge)

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 19:42

on a pas encore vu les séries de bertrand  

Posté par
Matouille2bre : Convergence de séries 03-12-06 à 19:44

Pour i_n, montre que pour n \geq 1

i_n \leq e^{-n+1}

et utilise de théorème de comparaison des séries

Voilà sauf erreur !!!

Posté par
Matouille2bre : Convergence de séries 03-12-06 à 20:01

montrons que \displaystyle \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k \ln k} diverge

soit n \geq 2

\forall k \in \{2,...,n\},\forall x \in [k,k+1], \frac{1}{(k+1)\ln (k+1)} \leq \frac{1}{x \ln (x)} \leq \frac{1}{k \ln (k)}

En intégrant sur [k,k+1], on a :
\frac{1}{(k+1)\ln (k+1)} \leq \ln(\ln (k+1) - \ln(\ln k)) \leq \frac{1}{k \ln (k)}

Et en sommant sur k on obtient :

\displaystyle \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k+1)\ln (k+1)} \leq \ln(\ln (n+1) - \ln(\ln 2)) \leq \displaystyle \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \ln (k)}

\lim_{n \rightarrow +\infty} \ln(\ln(n+1)) = +\infty
et le théorème des gendarmes fait le reste ....

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 21:36

je n'y arrive pas pour in ...

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 21:51

Du moins j'ai reçu à montrer ce que vous m'aviez dit, mais je n'arrives pas à conclure ...

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 22:11

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 22:32

ah voila j'ai trouvé En ce qui concerne la suivante, la voici :

4$k_n = \frac{ln(n!)}{n!}

J'ai pensé à utiliser la formule de Stirling, mais je trouve que ça ne fait que compliquer les calculs ... non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 22:38

Bonsoir à tous

Matouille2b étant déconnecté, je me permets de répondre.

edouardbbr> Il y a beaucoup plus simple. Tu peux essayer de comparer ceci au terme général dont d'une série dont tu sais qu'elle est convergente.

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 22:41

S'il s'agit d'une série de Bertrand, je ne les ai pas encore vues

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 22:42

Je ne parlais pas de ça. Je faisais plutôt allusion aux séries de Riemann.

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 22:49

j'avoue que je ne vois pas le lien

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 22:51

Essaie de trouver a>1 tel que \Large{k_{n}=o(\frac{1}{n^{a}})}

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 22:58

je ne trouve pas ... existe t-il une méthode qui marche à tous les coups pour trouver un o ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 23:03

C'est au cas par cas.
Ici, on a affaire à une factorielle qui est quand même assez costaud donc il y a de grandes chances que l'on ait \Large{k_{n}=o(\frac{1}{n^{a}})} pour tout a>1.
Essaie par exemple de montrer par exemple que \Large{k_{n}=o(\frac{1}{n^{2}})}

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 23:15

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 23:16

Qu'est-ce qui se passe ?

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 23:16

bah je n'y arrive pas

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 23:20

Où est-ce que ça bloque ?
Il faut revenir à la définition.
IL faut montrer que \Large{\lim_{n\to +\infty}\frac{n^{2}\ln(n!)}{n!}=0}.

Jusque là, tu me suis ?

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 23:22

oui ça d'accord

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 23:26

Ensuite, tu es d'accord avec moi que \Large{\frac{n^{2}\ln(n!)}{n!}} lorsque n tend vers l'infini, c'est équivalent à \Large{\frac{\ln(n!)}{(n-2)!}}.

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 23:28

oui toujours d'accord

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 23:31

Arrivé là, on aimerait bien utiliser le fait que \Large{\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0}.
Essaie de te se servir de ça pour montrer que \Large{\lim_{n\to%20+\infty}\frac{\ln(n!)}{(n-2)!}=0}.

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 23:37

Je pense à ça mais je doute que ce soit bon car j'ai l'impression que ça fait reculer le problème car on retrouve la forme précédente :

\frac{ln(n!)}{(n-2)!}=\frac{ln(n!)}{n!}(n-1)n

Comme n! quand n tend vers l'infini, on peut en conclure que ça tend vers 0 ...

c'est faux ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 23:39

Non, car on a affaire à une forme indéterminée.
Ce qui serait bien, ça serait de faire apparaître du (n-2)! dans le ln.

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 23:42

4$\frac{ln(n!)}{(n-2)!} = \frac{ln((n-2)!)}{(n-2)!} + \frac{ln((n-1)n)}{(n-2)! ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 23:43

C'est ça.
Maintenant, que peux-tu me dire ?

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 23:47

je me doute que ça tend vers 0 mais je ne suis pas sur de la justification pour le deuxieme terme ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 23:53

Tu te rend comptes tout de même que pour le deuxième terme, c'est presque immédiat car au numérateur tu as un ln qui ne fait absolument pas le poids face
au dénominateur qui est une factorielle, mais bon on va quand même essayer de le montrer.
Si x est un réel strictement positif, par quoi pourrait majorer \Large{\ln(x)} ?

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 03-12-06 à 23:55

on peut le majorer par x non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 03-12-06 à 23:57

Oui, tout à fait !
Sers toi de cette majoration pour montrer que le deuxième terme tend vers 0.

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 04-12-06 à 00:04

euh :s

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 04-12-06 à 00:07

En utilisant cette majoration, par quoi majores-tu \Large{\frac{\ln(n(n-1))}{(n-2)!}} ?

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 04-12-06 à 00:09

par \frac{n(n-1)}{(n-2)!}

mais en fait ça me parait évident que ça tend vers 0

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 04-12-06 à 00:12

Citation :
mais en fait ça me parait évident que ça tend vers 0


Peut-être mais tu n'a pas l'air franchement convaincu.

Pour vraiment aller jusqu'au bout du raisonnement, prends un équivalent de cette dernière expression.

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 04-12-06 à 00:13

en l'infini, un équivalent est :

\frac{n^2}{(n-2)!}

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 04-12-06 à 00:16

Le but était justement de ne plus avoir de numérateur.

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 04-12-06 à 00:17

O_o

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 04-12-06 à 00:18

Je m'explique :

Le but était justement de ne plus avoir de numérateur pour avoir 1 sur quelque chose qui tend vers l'infini.

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 04-12-06 à 00:19

je ne vois pas comment faire disparaitre tous les n du numérateur ... O_o

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 04-12-06 à 00:20

Astuce : n(n-1) est équivalent à (n-1)(n-2)

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 04-12-06 à 00:22

je comprends que l'on ne veut garder que le 2 ... mais on est en l'infini non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 04-12-06 à 00:24

Oui on est en l'infini mais à dire vrai, je ne comprends pas ta question.

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 04-12-06 à 00:26

et bien dans ce cas c'est le n² qui "l'emporte" non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 04-12-06 à 00:33

oui mais t'es d'accord avec ce que j'ai dit dans mon message de 00h20 ?
D'ailleurs, ce n'est pas ce que je voulais dire, je me suis trompé d'équivalent.
IL faudrait plutôt utiliser que n(n-1) est équivalent à (n-2)(n-3).
Ainsi, en prenant un équivalent de \frac{n(n-1)}{(n-2)!} avec la méthode précédente, on aura le fameux "1 sur quelque chose qui tend vers l'infini" dont je parlais tout à l'heure.

Kaiser

Posté par edouardbbr (invité)re : Convergence de séries 04-12-06 à 00:37

ah d'accord j'ai compris ... on fait apparaitre (n-4)! au dénominateur qui tend donc vers 0 quand n tend vers l'infini, finalement notre série du départ est bien un petit o de 1/n², ce qui nous donne qu'elle est convergente ...

merci beaucoup

Bon allez je vais aller me coucher !!

Encore merci et bonne nuit !

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence de séries 04-12-06 à 00:39

Mais je t'en prie !
Bonne nuit à toi aussi !


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