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convergence de séries

Posté par neo (invité) 09-11-05 à 20:19

bonsoir à tous
voilà je viens de commencer les séries et j'aurai besoin d'aide.
Ilfaut que j'étudie la covergence de la série de terme général
u[n]=-1/(n+1) et u[n]=-1/(n+1)²
merci à tous d'avance
bonne soirée.

Posté par
Roulianere : convergence de séries 09-11-05 à 20:28

Bonsoir,

Utilise les équvialents, en sachant que la série de terme général \frac{1}{n} diverge et la série de terme général \frac{1}{n^2} converge.

Nicoco

Posté par neo (invité)re : convergence de séries 09-11-05 à 20:32

ok j'ai compris : ensuite j'utilise la comparaison avec une série à termes positifs et je conclus.
Mais je bloque sur la série de terme général : -2/(n+1)(n+2)
j'ai pensé à décomposer ce quotient en deux quotients.
Pourrais tu m'iader
merci

Posté par
cqfd67re : convergence de séries 09-11-05 à 20:39

bonsoir,

-2/[(n+1)(n+2)] ~-2/n² et je te laisse conclure

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence de séries 09-11-05 à 21:26

Bonsoir;
Tu as que 4$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}\\-\frac{2}{(n+1)(n+2)}=-2(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})} et donc que 4$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}\\\Bigsum_{k=0}^{n}-\frac{2}{(k+1)(k+2)}=-2\underb{\Bigsum_{k=0}^{n}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})}_{somme\hspace{5}telescopique}}
c'est à dire que 4$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}\\\Bigsum_{k=0}^{n}-\frac{2}{(k+1)(k+2)}=-2(1-\frac{1}{n+2})=-2+\frac{2}{n+2}\{{\to-2\\n\to+\infty}
ce qui prouve que ta série est convergente et que 4$\blue\fbox{\Bigsum_{k=0}^{+\infty}-\frac{2}{(k+1)(k+2)}=-2}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par neo (invité)re : convergence de séries 09-11-05 à 21:42

merci beaucoup (très jolie présentation)
justement :
je dois calculer le produit de k allant de 1 à n de k(k+2)/(k+1)^2
j'ai essayé de transformer le produit en sommant par un logarithme afin de trouver une somme télescopique mais cela n'aboutit à rien.
Pourrais-tu m'aider ?
merci d'avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence de séries 09-11-05 à 22:42

Bonsoir neo;
Il y'a au moins deux façons de faire ton exercice:
(*)Directement:
En remarquant que 3$\fbox{\forall n\ge1\\\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k(k+2)}{(k+1)^2}=(\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1})(\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k+2}{k+1})} et en faisant dans le second produit le changement d'indice 2$\fbox{k\to k+1} on voit que:
3$\fbox{\forall n\ge1\\\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k(k+2)}{(k+1)^2}=(\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k}{k+1})(\Bigprod_{k=2}^{n+1}\frac{k+1}{k})=\frac{1}{2}\hspace{5}\frac{n+2}{n+1}} et tu vois que ton produit tend vers 3$\frac{1}{2} quand 3$n\to+\infty
(*)En utilisant le logarithme:
Tu as en effet que:
3$\fbox{\forall n\ge1\\ln(\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k(k+2)}{(k+1)^2})=\Bigsum_{k=1}^{n}(ln(k)+ln(k+2)-2ln(k+1))=\underb{\Bigsum_{k=1}^{n}(ln(k+2)-ln(k+1))-(ln(k+1)-ln(k))}_{somme\hspace{5}telescopique}} et donc que 3$\fbox{\forall n\ge1\\ln(\Bigprod_{k=1}^{n}\frac{k(k+2)}{(k+1)^2})=(ln(n+2)-ln(n+1))-(ln(2)-ln(1))=ln(\frac{1}{2}\hspace{5}\frac{n+2}{n+1})} et tu retrouves le résulltat de la méthode directe.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par neo (invité)re : convergence de séries 09-11-05 à 22:57

merci énormément elhor !!


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