et bien personne n'est chaud ce soir ?

Salut,
intègre ta série autant de fois qu'il le faut pour faire apparaitre une série géométrique, après c'est facile de conclure.
A+

intègre ta série? ca consiste en quoi pardon?

Salut,
bein intégrer = le contraire de dériver.

super les sarcasmes je vois pas comment faire mais merci quand même puor ton aide.
Si quelqu'un à une autre solution et ne se sent pas obliger de prendre les gens de haut je suis preneur.
PS: ca fait plaisir de voir que y'a des gens qui saventtout résoudre sans forcer, tu devrais proposer tes service à l'université de chicago je crois qu'ils ont quelques difficultés en ce moment avec l'algorithme de Syracuse.

Salut,
plutôt que Chicago, je pense à Boston, je postule pour
Harvard/ MIT /UMAS
Mon post n'étais pas sarcastique, je pensais que tu demandais ce que voulais dire intégrer.

Cependant je viens de me rendre compte que k était à la fois en haut et en bas dans tes combinaisons ce qui plante mon raisonnement.
Cependant ca doit pouvoir se triturer un peu.
Cherche du coté des intégrations/dérivations/multiplications par x^j pour j bien choisi.

Si je te donne la somme des kx^k tu sais la traiter facilement, justement en divisant par x et en intégrant. Mon idée est de regarder de ce coté ci.
A+

Est -ce que tu es sur de ton résultat car on a
si je ne me trompe pas.

je me suis un peu trompé en recopiant l'énoncé mais en fait je crois que ca ne change rien, l'énoncé était exactement :
Justifiez soigneusement la convergence de la suite (s(n,r))n \in N lorsque n tend vers +\infty de limite:
s(r)=1/(1-x)^r+1,
avec s(n,r)=\sum{0}_{n} (r parmi r+k)x^k

J'ai l'impression qu'il y a un problème
en effet
Donc je dirais que ta somme est plutot egal a mais peut etre ais-je fait une erreur, je n'ai pas vérifié mes calculs.

je comprend pas comment tu conclus enfin pour la somme de (k+r)!/k! x^k vaut (-1)^r/(1-x)^r+1 ??

En fait ta formule est la bonne , je n'avais pas trop réfléchi et avait fait une erreur  un peu bete.

On sait que du moins si
Or si tu dérives r fois cette expression tu obtiens

Soit donc
Et en faisant un changement d'indice dans ta première formule et en multipliant par r! de chaque cote tu trouves l'expression que tu voulais.

Premier terme de la somme = [(0+r)!/(0!.r!)].x^0 = 1
2 ème terme de la somme = [(1+r)!/(1!.r!)].x^1 = [(1+r)/1!].x
3 ème terme de la somme = [(2+r)!/(2!.r!)].x^2 = [(1+r)(2+r)/2!].x²
4 ème terme de la somme = [(3+r)!/(3!.r!)].x^3 = [(1+r)(2+r)(3+r)/3!].x³

(n+1)ème terme de la somme = [(1+r)(2+r)(3+r)...(n+r)/n!].x^n

Et donc    (1)


---

Développement en série de Taylor (Mac-Laurin) de 1/(1-x)^(r+1)

f(x) =  1/(1-x)^(r+1) --> f(0) = 1
f '(x) = (1+r)/(1-x)^(r+2) --> f '(0) = 1+r
f ''(x) = (r+1)(r+2)/(1-x)^(r+3) --> f ''(0) = (1+r)(2+r)
...
f(n)(x) = (1+r)(2+r)...(n+r)/(1-x)^(r+n) (avec f(n)(x) la dérivée n!ème de f par rapport à x.
--> f(n) = 0 = (1+r)(2+r)...(n+r)

Taylor(mac-Laurin) donne:
f(x) = f(0) + (x/1!).f '(0) + (x²/2!).f ''(0) + ... + ((x^n)/n!).f(n)(0) + ... (suite infinie).

f(x) = 1 + [(1+r)/1!].x + [(1+r)(2+r)/2!].x² + ... + ((1+r)(2+r)...(n+r).(x^n)/n!) + ...  (2)
---
En comparant un et 2, on a bien:


-----
Sauf distraction ou erreur, vérifie.

Taylor (Mac-Laurin) tiens j'appelle ca taylor young :/

Les 2 existent et ne disent pas la même chose.
Attention donc...

Notons s(n,r)(x) la somme en question,en appliquant la régle de Dalembert à la suite (s(n,r)(x))n [ie: avec r et x fixés] on voit qu'elle converge pour |x|<1 [et diverge pour |x|>1].Posons alors pour |x|<1 et r
Fr(x)=lim s(n,r)(x)
n+
D'autre part un calcul assez facile montre que:
s(n+1,r)(x) - s(n+1,r-1)(x) = x*s(n,r)(x)
par passage à la limite (ie: n+)
on a que:r* x]-1,1[
Fr(x)-Fr-1(x)=x*Fr(x) ie Fr(x)=Fr-1(x)/(1-x)
une récurrence immédiate donne alors: Fr(x)=F0(x)/(1-x)^r
avec F0(x)=1/(1-x) (vérification facile) on aboutit au résultat demandé.