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Convergence dominée

Posté par
fusionfroide 31-05-07 à 23:08

Salut

On me demande d'appliquer le théorème de convergence dominée à la suite définie par 4$s_n(t)=\Bigsum_{k=1}^n \frac{sin(kt)}{k} pour obtenir que, pour tout 4$x \in [0,\pi] : 4$\Bigsum_{k=1}^{\infty} \frac{cos(kx)}{k^2}=\Bigsum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}-\frac{\pi}{2}x+\frac{x^2}{4}


Je coince dès le départ...merci pour votre aide

A+

Posté par
robby3Convergence dominée 31-05-07 à 23:15

Salut Fusionfroide, meme si l'exercice n'est pas de mon niveau...
je peux juste suggerer que le passage de l'un a l'autre y'a de la dérivée et de la limite quand n tend vers l'infini (donc sans doute une interversion de symboles à justifier avec de la convergence uniforme voire normale).

le thm de convergence dominé,j'ai du le voir mais la je vois pas trop.
Bonne soirée.

Posté par
fusionfroidere : Convergence dominée 31-05-07 à 23:18

Salut robby !

Comment vas-tu ?

Oui effectivement ça sent l'intervertion des symboles

Comment ce sont passés tes partiels ?

Posté par
robby3re : Convergence dominée 31-05-07 à 23:22

Citation :
Comment vas-tu ?

pas trés bien mais pour des raisons personnels...
Citation :

Comment ce sont passés tes partiels ?

super mal!! je pense que je vais aller au rattrapage en topologie(malgré de bonnes révisions,mais surpris par le sujet) et éventuellement en analyse(parce que la c'est la catastrophe mais bon on verra bien).

Merci à toi.
Coment se sont passés les tiens de partiels?

Posté par
robby3re : Convergence dominée 31-05-07 à 23:23

Comment on applique le theoreme de convergence dominée ici?

Posté par
fusionfroidere : Convergence dominée 31-05-07 à 23:33

ok

Pour moi je pense que ça a été...

Sinon, pour ta dernière question, je me le demande ??!

Posté par
robby3re : Convergence dominée 31-05-07 à 23:34

ok!
bah attendons Kaiser ou Cauchy alors
au tout autre personne qui s'y connait la dedans.

Posté par
fusionfroidere : Convergence dominée 31-05-07 à 23:34

J'ai déjà posté en fait ce sujet mais je ne l'ai jamais retrouvé !

Perroquet m'avait répondu mais je ne me rappelle plus trop ses dires

Posté par
robby3re : Convergence dominée 31-05-07 à 23:36

ok alors Perroquet va nous aider j'esper enfin va t'aider parce que je doute d'etre d'une quelconque utilité

Posté par
robby3re : Convergence dominée 31-05-07 à 23:39

il faut montrer que la suite des sommes partielles est bornée avec Abel...(cf Perroquet)

Posté par
fusionfroidere : Convergence dominée 31-05-07 à 23:39

Je suis claqué je vais me coucher

EN plus mon wifi fait des siennes grrrr.

Donc là tu révises ?

Moi aussi on ne sait jamais

A+

Posté par
fusionfroidere : Convergence dominée 31-05-07 à 23:39

Citation :
il faut montrer que la suite des sommes partielles est bornée avec Abel...(cf Perroquet)




Tu peux donner le lien ?

Posté par
robby3re : Convergence dominée 31-05-07 à 23:41

Théorème de convergence dominée

voila.

Posté par
fusionfroidere : Convergence dominée 31-05-07 à 23:43

merci et bonne nuit

Posté par
robby3re : Convergence dominée 31-05-07 à 23:43

ok bah bonne nuit alors...

Posté par
fusionfroidere : Convergence dominée 31-05-07 à 23:45

Le problème c'est que perroquet me conseille d'utiliser les Séries de Fourier, alors que lors de ce TD, on ne les avait pas encore vu, loin de là !

DOnc j'attends

Posté par
robby3re : Convergence dominée 31-05-07 à 23:48

ne faut-il pas d'abord appliquer Abel?
puis pour montrer la convergence de la suite des sommes partielles, on utilise fourier?
enfin je pense aprés..?!

Posté par
jeansebre : Convergence dominée 01-06-07 à 12:15

Bonjour

J'ai peut-être une piste, en remarquant que:

4$\rm \forall x \in [0;\pi] \frac{coskx}{k^2}=\Bigint_0^x -\frac{sinkt}{t}dt + \frac{1}{k^2}

et en sommant de 0 à l'infini.

Sauf erreur...

Posté par
robby3re : Convergence dominée 01-06-07 à 12:19

Salut Jeanseb content de te revoir.

Je veux bien le remarquer mais aprés ne s'éloigne t-on pas du sujet de départ à savoir utiliser le TCD sur la série en sin(kt)/k...aprés je pense que pour obtenir le résultat final,ce ne devrait pas etre trop compliqué.

Posté par
Roulianere : Convergence dominée 01-06-07 à 13:47

Bonjour,

Je pense qu'avec l'argument de jeanseb, on doit pouvoir s'en tirer.

On aura alors : 4$ \Bigsum_{k=1}^n \frac{coskx}{k^2}=-\Bigint_0^x \Bigsum_{k=1}^n\frac{sinkt}{k}dt + \Bigsum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}

Ensuite, en posant 3$ f_n(t)=\Bigsum_{k=1}^n\frac{sinkt}{k}, on peut dériver puis on se ramène à une somme de cos(kt), puis si ensuite on pose 3$ f_n(t)=\Bigint_0^t f_n'(x)dx on peut peut-etre majorer |f_n(t)|

Voilà, je sais pas si ça fait avancer le schmilblick

Posté par
Roulianere : Convergence dominée 01-06-07 à 14:07

Ca m'a l'air un peu compliqué, je pense pas que ça marchera de cette façon.

Posté par
Roulianere : Convergence dominée 01-06-07 à 14:13

J'ai trouvé un lien qui démontre qu'il existe M tel que pour tout x, |\Bigsum_{k=1}^n \frac{sin(kt)}{k}| \le M.

Va voir ce document : en bas de la 5ème page. " Preuve du Lemme"

Pas évident du tout !


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