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convergence dominée

Posté par
Yosh2 06-06-22 à 10:53

Bonjour
on me demande de calculer lim_{n \to \infty} I_n ou I_n = n^2\int_{0}^{1}(1-x)^n\sin(\pi x)dx si on pouvait intervertir limite et integrale on trouverai lim I_n = 0 , or la réponse du corrige est \pi c'est a dire que le théorème de convergence domine ne s'applique pas ici, c'est bien pour cela que je n'ai pas réussi a trouver une dominante integrable. toutefois comment puis je montrer qu'il y a aucune fonction integrable qui domine l'intégrande , simplement dire que je n'ai pas réussi a la trouver n'est pas très convaincant.
merci

Posté par
GBZMre : convergence dominée 06-06-22 à 11:10

Bonjour,

Citation :
si on pouvait intervertir limite et integrale on trouverai lim I_n = 0

Ben non, que fais-tu du n^2 ? C'est là qu'est l'os !
On peut compenser ce n^2 par quelques intégrations par parties, et on retombera bien sur la réponse du corrigé.

Posté par
Yosh2re : convergence dominée 06-06-22 à 14:17

il me semble que sur ]0,1] l'integrande tend bien vers 0 malgre le n^2, grâce a la suite géométrique  .

Posté par
GBZMre : convergence dominée 06-06-22 à 14:58

Mais tu vois bien que ce n'est pas dominé à cause de ce n^2. Pourquoi n'essaies-tu pas de suivre m suggestion ?

Posté par
Yosh2re : convergence dominée 06-06-22 à 15:39

Bonjour
mon but n'est pas de trouver la limite (j'ai deja le corrige) , ce que je veux c'est comprendre et montrer qu'il n'y a pas de dominante integrable , dire qu'elle ne peut être domine car il y a un n^2 , ne me convainc pas trop car il y a aussi le (1-x)^n qui fait decroitre l'integrande .
merci

Posté par
GBZMre : convergence dominée 06-06-22 à 15:51

Ben tu as déjà montré qu'il n'y a pas de dominante intégrable, puisque s'il y en avait la limite de $I_n$ vaudrait 0, or tu as paraît-il la démonstration que cette limite vaut $\pi$. Alors, que cherches-tu ?

Posté par
GBZMre : convergence dominée 06-06-22 à 16:02

Si tu veux un "feeling"  sur l'ennui que cause ce n^2, tu peux regarder un équivalent de n^2\left(1-\dfrac1n\right)^n \sin\left(\dfrac\pi n\right). quand n tend vers l'infini.

Posté par
Ulmierere : convergence dominée 06-06-22 à 20:30

Yosh2 @ 06-06-2022 à 15:39

Bonjour
mon but n'est pas de trouver la limite (j'ai deja le corrige) , ce que je veux c'est comprendre et montrer qu'il n'y a pas de dominante integrable , dire qu'elle ne peut être domine car il y a un n^2 , ne me convainc pas trop car il y a aussi le (1-x)^n qui fait decroitre l'integrande .
merci


C'est un simple raisonnement par l'absurde. S'il existait une fonction f intégrable telle que pour presque tout x de [0,1], on ait (1-x)^n n^2 \leqslant f alors le TCD s'appliquerait effectivement mais ça on s'en fiche complètement en fait.

Par contre ce qui nous intéresse, c'est que (1-x)^n n^2 > 0 presque partout pour n > 0, ce qui t'autorise à passer ta domination au log, qui est une fonction strictement croissante, et donc à en déduire que n \ln(1-x) + 2\ln n \leqslant \ln f(x) presque partout. Ceci devant être vrai pour tout n, ça veut dire que \ln f = +\infty presque partout, et donc f aussi, et donc f n'est pas intégrable. Contradiction.

Posté par
Ulmierere : convergence dominée 06-06-22 à 20:33

Désolé du double post, j'ai oublié le sinus, mais ça ne change pas l'idée de la preuve. Le seul truc à comprendre c'est qu'on ne prend le log d'un truc nul qu'en x = 0, ou x = 1, et {0,1} est de mesure nulle. Le log du sinus ne change pas la limite +\infty puisqu'il n'y a pas de dépendence en n dans le sinus.

Posté par
Ulmierere : convergence dominée 06-06-22 à 20:40

J'ai dit n'importe quoi, c'est 1-x dans le ln, donc il n'y a pas de contradiction.

Par contre il est vrai que (1-x)^n n^2 tend vers 0 (croissances comparées ou passage au log comme ci-dessus), donc que si f existait on pourrait appliquer le TCD et on trouverait une limite fausse ===> contradiction.

Posté par
jandri Correcteurre : convergence dominée 06-06-22 à 21:25

Bonjour,

pour compléter ce qui a été dit, la limite de I_n se calcule facilement avec le théorème de convergence dominée mais après avoir fait le changement de variable t=nx.

La domination s'obtient par \ln(1-x)\leqslant -x et \sin(\pi x)\leqslant\pi x sur [0,1[.

Posté par
GBZMre : convergence dominée 06-06-22 à 23:23

Bizarres, ces interventions ....

Puisque le fil en a été obscurci, j'explicite :

\begin{aligned}I_n&= \dfrac{n^2}{n+1}\left[-(1-x)^{n+1}\sin(\pi x)\right]_0^1 +\pi\dfrac{n^2}{n+1}\int_0^1(1-x)^{n+1} \cos(\pi x)\,dx\\ &= \pi\dfrac{n^2}{(n+1)(n+2)}\left[-(1-x)^{n+2}\cos(\pi x)\right]_0^1- \pi^2\dfrac{n^2}{(n+1)(n+2)}\int_0^1 (1-x)^{n+2}\sin(\pi x)\,dx\end{aligned}

et là, pas de problème avec la convergence dominée et la limite pour n tendant vers l'infini.


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