Bonjour, je bloque sur un exercice, et ai besoin de votre aide afin de le résoudre.
Je vous transmet le sujet :

On considère un espace mesuré (E,,µ) et une suite (fn)n≥1 de fonctions complexes mesurables et intégrables sur E telle que fn converge simplement vers une fonction f et telle que   |fn|dµ  converge vers une limite l ∈R+

a) Montrer que f est intégrable et que|f|dµ ≤ l .
Trouver un exemple pour lequel |f|dµ < l.

On suppose maintenant que |f|dµ =l , et l'objectif est de montrer que fn converge vers f dans L1(E,µ). b) On suppose tout d'abord que fn et f sont toutes à valeurs réelles positives. On introduit pour tout n ≥ 1 la fonction gn = min(fn,f).

b) Donner la limite de |gn −f|dµ.
c) Montrer que |gn −fn|dµ tend vers 0 quand n tend vers +∞, et conclure.

Ce que j'ai fait :

a) On sait que |fn|dµ  converge vers une limite l ∈R+ donc que l'intégrale de fn est absolument convergente, ce qui est la définition de f intégrable.
Ensuite montrons que : |f|dµ ≤ l .

On sait que :
i)  pour tout n>0, la suite de fonctions fn est mesurables et intégrables à valeurs dans les complexes.
ii) fn converge simplement vers f donc on a quand n :
lim fn(x)=lim sup fn(x) = lim inf fn(x) = f(x).
iii)   |fn|dµ l donc : quand n :
lim |fn|dµ =lim sup   |fn|dµ = lim inf   |fn|dµ = l

Par ailleurs, la suites de fontions |fn| est mesurables et à valeurs dans R+.
Donc d'après le lemme de Fatou on a :
lim |fn|dµlim inf   |fn|dµ = l
or on sait que |fn| [f| (on le montre facilement car fn converge simplement vers f)
donc lim inf |fn| = lim sup |fn | = f

d'où l'égalité recherché : |f|dµ ≤ l
Je n'arrive pas a trouver l'exemple.

b et c) Pour cette question, je sais qu'il faut appliquer le théoreme de convergence dominé à gn mais je ne vois pas trop comment le faire.. Dois je faire une disjonction de cas (gn=f, gn=fn)?

Merci pour votre aide !