Inscription / Connexion Nouveau Sujet
convergence et divergence de suites
Bonjour,
J'ai un problème avec un exercice où je dois dire si les assertions sont vraies et le démontrer ou fausses et donner un contre-exemple.
a) Toute suite divergente dans RN est une somme de suites divergentes.
b) Toute suite convergente dans RN est une somme de suites divergente.
c) Si les suites (un) et (vn) (avec n entier naturel) vérifient : (un + vn) et (un*vn) convergent, alors (un) et (vn) convergent.
Pour la c), j'ai dit qu'elle était fausse avec comme contre-exemple un=(-1)n et vn= -(-1)n
La somme des deux est égale à 0 donc converge, et le produit est égal à 1 et donc converge aussi.
Pour la a), je pense qu'elle est vraie mais je n'en ai pas la preuve.
Et pour la b), je dirais fausse, avec comme contre-exemple, une suite constante, qui ne pourrait donc pas être la somme de suites divergentes (sauf si on rajoutait deux suites qui s'annulent).
Je suis un peu perdue, j'espère pouvoir obtenir quelques indices.
Merci d'avance de votre aide
Bonjour Angelive,
ok pour la c).
a)Soit x une suite divergente.Que penses-tu de la suite x/2 ?
Conclus! 
b)Soit x une suite convergente.Que penses-tu des suites x+a et -a, où a est la suite de terme général (1/n) ?
Tigweg
Bonjour,
pour la a), il faut préciser de deux suites divergentes? sinon elle est somme d'elle même 
Pour la b), suppose que u(n) tend vers l, essaie de trouver v(n) et w(n) en faisant des compensations avec +-infini(je sais pas si je suis clair).
ok, pour la b), je pense avoir compris, on fait s'annuler les 2 termes a qui divergent u=x+a et v=-a => u+v=x
Mais pour la a), je ne vois pas du tout. La suite x/2 pourrait se décomposer en x-(x/2) et les 2 termes divengent, donc la somme diverge. Mais comment le démontrer?
de même comment dois-je m'y prendre pour montrer le b)? Je dois dire simplement qu'on construit une suite divergente u(n) avec 2 membres divergents et qu'on constitue une autre suite avec l'opposé de l'un de ces membres (qui est donc lui aussi divergent), et que la somme des 2 nous fait retomber sur une suite divergente?
Eh bien x se décompose en (x/2)+(x/2) avec x/2 divergente
De même pour b, (-1)n diverge donc x+ (-1)n aussi.
Or x= (x+(-1)n)+(-(-1)n) et letour est joué!
donc pour le démontrer, il suffit juste de dire qu'on choisit x étant une suite divergente quelconque pour a), et x une suite convergente quelconque pour b)? Ca suffit pour ma démo?
Oui!
Tu peux juste argumenter le fait que si x diverge, x/2ne peut que diverger(par l'absurde, sinon x/2 tendrait vers un réel l, donc...etc...contradiction!)
Et pour le b), tu peux dire que la somme d'une suite convergente et d'une suite divergente diverge toujours
D'accord, j'ai compris.
Merci beaucoup de votre aide et bonne fin de soirée
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac