En fait, je demande ça car je cherche à étudier dans un premier temps la convergence simple et la convergence absolue de de la série dont le terme général est .

Avec une autre méthode, je trouve que la série converge absolument car lorsque tend vers l'infini, et puisque , . Mais il y a un problème car e^{-x} peut-être égal à 1... Problème qui n'est peut-être plus un du fait que , qui est le terme général d'une série qui converge...

Mon raisonnement se tient?

Bonjour,
la convergence simple peut se déduire du critère des séries alternées.
La convergence absolue me semble clairement compromise dès que x est négatif, mais pour x strictement positif, je pense qu'il n'y a pas de souci.

Bonjour,

Comment le montres-tu pour les x positifs (pour la CVA)?

Chacune des fonctions f_n(x)=exp(-(n+1)x)/n est décroissante (*).
Notamment, pour x>0 tu as que 0 < |f_n(x)| < exp(-x)^(n+1)/n < exp(-x)^(n+1)
A x fixé le truc de droite est clairement sommable, donc nos f_n le sont.
La remarque (*) permet de conclure quant au fait que la convergence est absolue sur tout intervalle [a,+oo) avec a strictement positif.

a+

Mais comment montrer que la limite lorsque n tend vers l'infini de exp(-(n+1)x)/n = 0? J'obtiens une forme indéterminée...

Pourquoi tu as besoin de savoir ca ?
Ce n'est de toute facon pas une forme indéterminée pour x positif.

Croissances comparées?

Mais je viens de te dire que tu n'as PAS de forme indéterminée pour x positif ...

Peux-tu détailler stp?

Non, dis moi pourquoi toi tu bloques ?
La limite est une limite qui ne pose pas de problème, la limite du quotient est le quotient des limites ...

Et bien, on a, en termes de limite, le quotient 0/infini...

Oui et donc ?

Je croyais que c'était indéterminé...ShAmE oN mE... Désolé!
Par contre, j'ai une autre question
Comment justifies-tu que exp(-(n+1)x) est le terme général d'une série qui converge?

Comme je t'ai dit, exp(-(n+1)x)=exp(-x)^(n+1)
Vu que x est strictement positif ...


Sinon tu peux toujours faire une comparaison série intégrale qui me semble être une méthode un peu trop "violente" ici.

Déjà, quelle propriété permet d'affirmer cette écriture?

Je ne sais pas si c'est le terme général d'une série qui converge.. Même avec x positif, je ne vois pas où tu veux en venir..

Je pense que depuis la terminale, tu dois savoir que exp(ax)=exp(x)^a non ?
Sinon ca va mal.
Et le fait que x soit positif implique quel encadrement sur exp(-x) ?

Sincèrement, je ne m'en souvenais plus, je ne l'emploie que très rarement il me semble..
Puisque est positif, on a 0

Oui mais puisque x est strictement positif et que l'exponentielle est strictement croissante, tu as meme des inégalités strictes et c'est ca qui nous aide ici.

x n'est pas strictement positif, il est positif ou nul. Mais on arrive quand même à conclure apparemment.

Mais moi je t'ai dit que ca marchait pour x strictement positif.
Si x est nul, on a trivialement convergence simple, mais on n'a la convergence absolue que sur les intervalles de la forme [a,+oo) avec a strictement positif, ainsi que sur les sous ensemble de ces intervalles.

Oula, je ne te suis plus là ... On n'a pas convergence absolue sur ?

Non, sinon on aura convergence absolue en 0 ce qui n'est clairement pas le cas puisque chaque fonction vaut 1/n en 0 et cette somme diverge.

Voici où j'en suis:

J'ai écrit:

Or, est le terme général d'une série qui converge, puisque pour , , on en déduit d'après la première inégalité que converge, donc converge absolument pour ... C'est faux?

Oui c'est faux puisqu'il n'y a pas convergence absolue en x=0 comme je te l'ai deja dit ...

Mais où est l'erreur dans ce que j'ai écrit, avant ma conclusion?

Dans le fait que la première inégalité large implique la convergence de la série des |Un|.

Mais pourtant, , ce qui est bien inférieur ou égal à pour !

?

Oui et alors ^
Le truc de droite vaut 1 quand x vaut 0 ...
Donc tu te retrouves à majorer par une série divergente. Ce n'est pas étonnant puisque ta série diverge de toute facon.

Je me perds...

Bein c'est quand même facile de voir que le truc de droite vaut 1 quand x vaut 0 non ?
exp(0)=1

Donc tu majores par une série divergente, donc tu ne peux rien dire.
Et de toute facon la série est bien absolument divergente pour x=0 comme je te l'ai déjà dit puisque tu te retrouves à sommer des 1/n.