Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Convergence série numérique

Posté par
Vantin 06-09-22 à 23:26

Bonjour, je bloque sur exercice trouvé dans un bouquin, en voici l'énoncé:

Soit  \{a_n\}_{n\in N} une suite de réel non négatif tel que la série de terme général a_n converge.
Montrer que si  \{z_n\}_{n\in N} est une suite complexe satisfaisant \forall n \in N,\lvert z_n\rvert \leq a_n alors la série de terme général z_n converge .
Il est écrit dans le manuel: [Hint: Use the Cauchy criterion]

J'avoue ne pas comprendre l'indice,
la seule chose que j'ai réussi à écrire pour essayer d'avancer c'est la suite z_n est borné par passage à la limite de  a_n donc la limite de la suite z_n vaut 0 ce qui est une condition nécessaire mais pas suffisante

Posté par
Ulmierere : Convergence série numérique 07-09-22 à 00:20

Les notations anglo-saxonnes sont vraiment... beurk !


Ceci étant dit, ils te disent simplement de te servir
- de la completude de C pour dire que convergence absolue => convergence
- de la completude de R pour dire que suite de Cauchy => suite convergente.

Il suffit juste d'appliquer l'inegalité triangulaire entre n et n+p et de faire tendre n vers l'infini. Rien de difficile

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 07-09-22 à 14:40

Bonjour,
Concernant la complétude je ne suis pas très familier avec cette notion, de ce que j'ai vu: un ensemble est complet si on a équivalence entre convergence et Cauchy.

Qu'entends t-on par critère de cauchy celui pour les suites ou pour les séries numériques?
ça ne fait pas sens pour moi d'appliquer (à zn ?) l'inégalité triangulaire entre n et n+p et de faire tendre n vers l'infini.
zn converge donc zn est de cauchy donc our ^\epsilon >0, on a
\exists N \in N, \forall p,q \ge N, \lvert z_p - z_q \rvert < \epsilon  

Posté par
carpediemre : Convergence série numérique 07-09-22 à 15:42

salut

je pense qu'il n'est pas nécessaire de parler de complétude du moins dans un premier temps car cela n'intervient que pour la conclusion et  on travaille dans C (ou R)

le plus fondamental est le démarrage et ici c'est de partir de :

la suite de terme général \left( s_n = \sum_0^n z_k \right)_n est-elle bornée ?

car si elle ne l'est pas la conclusion est immédiate ...

revois le critère de Cauchy pour les séries ...

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 07-09-22 à 16:20

Si s_n n'est pas bornée alors c'est qu'elle est non convergente
Et oui elle est bornée car les z_k peuvent être majorés par les a_k, je viens de le relire mais ça ne m'éclaire pas trop

Posté par
carpediemre : Convergence série numérique 07-09-22 à 16:25

1/ la suite (s_n) est bornée (à justifier plus proprement)

2/ donc elle varie dans le compact par exemple le disque fermé D(O, M)

3/ que peut-on en conclure ?

4/ conclure ensuite avec le critère de Cauchy

ou alors pour suivre ce qui a été proposé :

1/ montrer que la suite est de Cauchy

2/ conclure avec la complétude (nécessaire seulement maintenant)

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 07-09-22 à 16:47

Je vais essayer de suivre avec ce qui a été proposé:
On note S_n = \sum_{k=0}^{n} z_k la suite des sommes partielles, donc la numérique de terme général z_n    converge si S_n converge.

Pour montrer que S_n converge, on peut montrer que S_n est de cauchy ce qui se traduit par fixer un epsilon positif puis dire

\exists N >0, \forall p,q \ge N, \lvert S_p - S_q \rvert < \epsilon    
\lvert S_p - S_q \rvert =\lvert \sum_{k=0}^{p} z_k -  \sum_{k=0}^{n} z_q \rvert = \lvert \sum_{k=p+1}^{q} z_k  \rvert     
Donc S_n est de cauchy et la série de  terme z_n converge ?
Je pense que ce que j'ai écris est faux car je n'utilise pas la relation avec a_n ni d'inégalité triangulaire comme l'a signalé Ulmiere

Posté par
Ulmierere : Convergence série numérique 07-09-22 à 16:56

Jusqu'ici c'est à peu près bon, mais il faut prendre p\leqslant q pour que la dernière égalité soit correcte.

Maintenant il faut finir :

Citation :
car je n'utilise pas la relation avec a_n ni d'inégalité triangulaire comme l'a signalé Ulmiere

Posté par
Ulmierere : Convergence série numérique 07-09-22 à 16:59

Citation :
Jusqu'ici c'est à peu près bon


En fait, non, pas bon du tout puisque c'est (\sum a_n) qui est de Cauchy par hypothèse. Tu pars de ce que tu veux démontrer !

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 07-09-22 à 17:36

Donc je dois partir de la somme partielle de an ?

Posté par
carpediemre : Convergence série numérique 07-09-22 à 17:48

Vantin @ 07-09-2022 à 16:47


\forall p < q  :  \left | S_p - S_q \right | = \left | \sum_{k=0}^{p} z_k -  \sum_{k=0}^{n} z_q \right | = \left | \sum_{k=p+1}^{q} z_k  \right | = ... ?   
inégalité triangulaire puis majoration puis hypothèse sur la suite (a_n)

Posté par
Ulmierere : Convergence série numérique 07-09-22 à 18:24

Si tu ne vois toujours pas, prends z_n = \dfrac{1}{in^3} et a_n = \dfrac{1}{n^2} et montre-nous comment tu ferais pour prouver que \sum z_n converge

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 07-09-22 à 19:35

Dans ton exemple c'est facile, il suffit de procéder par comparaison car ce sont des suites de signe constant, j'ai du mal à voir ce qu'apporte une inégalité triangulaire, est ce que c'est son corolaire que je suis censé utilisé ?

Posté par
Ulmierere : Convergence série numérique 07-09-22 à 19:43

Ah ben si tu sais attribuer un signe au complexe z_n = \dfrac{1}{in^3}, j'aimerais bien que tu m'expliques comment tu fais

Je sais donner un signe à |z_n|, mais à z_n...

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 07-09-22 à 19:54

D'accord j'avoue mais dans ce cas la série est absolument convergente car :
\lvert \frac{1}{in^3} \rvert = \lvert \frac{1}{n^3} \rvert =  \frac{1}{n^3}
C'est une Riemann avec 3>1 donc elle converge absolument

Posté par
Ulmierere : Convergence série numérique 07-09-22 à 20:01

Ben justement, c'est l'absolue convergence qu'on te demande de montrer et le critère de Riemann en est une conséquence

Si tu veux un exemple moins trivial, prends z_n = \dfrac{1}{\sqrt{n^5\sin(1+1/n) + (-1)^n\ln(n)}} et a_n = \dfrac{C}{n^2} avec C une constante positive

Posté par
carpediemre : Convergence série numérique 07-09-22 à 20:05

bon tant pis ... puisque ça n'avance pas ...

carpediem @ 07-09-2022 à 17:48


\forall p < q  :  \left | S_p - S_q \right | = \left | \sum_{k=0}^{p} z_k -  \sum_{k=0}^{n} z_q \right | = \left | \sum_{k=p+1}^{q} z_k  \right | \red \le \sum_{p + 1}^q |z_k| \le ... ??   

inégalité triangulaire (fait) puis majoration (hypothèse sur z_k) puis hypothèse sur la suite (a_n)

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 07-09-22 à 20:16

\sum_{p+1}^{q} \lvert z_k \rvert \leq \sum_{p+1}^{q} \lvert a_k \rvert \leq \epsilon

Posté par
Ulmierere : Convergence série numérique 07-09-22 à 20:25

On progresse mais as-tu compris quelque chose à ce qu'on t'a fait faire ?

Posté par
carpediemre : Convergence série numérique 07-09-22 à 20:36

et surtout il faut justifier la dernière inégalité !!

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 08-09-22 à 12:09

La dernière inégalité est vrai car la série a_n converge donc en particulier a_n est absolument convergente donc c'est simplement une utilisation du critère de Cauchy pour les séries numériques (d'ailleurs ça devrait être une inégalité stricte)
Donc la suite de sommes partielle converge donc la série de terme z_n converge mais on utilise pas le fait qu'une série est absolue convergente

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 08-09-22 à 12:17

Vantin @ 08-09-2022 à 12:09

la série a_n converge donc en particulier a_n est absolument convergente


J'ai rien dis, ceci est faux

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 08-09-22 à 12:32

Vantin @ 07-09-2022 à 20:16

\sum_{p+1}^{q} \lvert z_k \rvert \leq \sum_{p+1}^{q} \lvert a_k \rvert \leq \epsilon

N'aurais-je pas du écrire:

\sum_{p+1}^{q} \lvert z_k \rvert \leq \sum_{p+1}^{q} a_k \leq   \rvert \sum_{p+1}^{q} a_k  \rvert < \epsilon

Posté par
Ulmierere : Convergence série numérique 08-09-22 à 12:49

Tu as toutes les pièces mais il va falloir réordonner tout cela pour produire une preuve correcte.

Remplis les trous ci-dessous

Citation :
... est une série convergente, donc ... est de Cauchy

Soit \varepsilon > 0, il existe N(\varepsilon) entier naturel tel que pour tous N(\varepsilon)\geqslant p\geqslant q entiers naturels, ...

Soient p,q de tels entiers.
|S_q - S_p| = ... \leqslant ... <\varepsilon

La suite ... est de Cauchy, donc converge car \C est complet et donc la série ... est convergente.



Et maintenant, voici ce que je proposais plus haut.

Citation :
Soient n,p deux entiers naturels

|S_{n+p} - S_n| = \left|\sum_{k = n+1}^{n+p} z_k\right| \leqslant \sum_{k = n+1}^{n+p} |z_k| \leqslant \sum_{k = n+1}^{n+p} a_k \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0

Donc (S_n) est une suite de Cauchy

Posté par
Ulmierere : Convergence série numérique 08-09-22 à 12:50

Petite coquille, c'est bien-sûr N(\varepsilon)\leqslant p\leqslant q

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 08-09-22 à 13:43


\sum_{n=0}^{+\infty} a_n est une série convergente, donc elle est de Cauchy

Soit \varepsilon > 0, il existe N(\varepsilon) entier naturel tel que pour tous N(\varepsilon)\geqslant p\geqslant q entiers naturels, \lvert \sum_{n=p+1}^{q} a_n \rvert< \epsilon

Soient p,q de tels entiers.
\forall p < q  :  \left | S_p - S_q \right | = \left | \sum_{k=0}^{p} z_k -  \sum_{k=0}^{n} z_q \right | = \left | \sum_{k=p+1}^{q} z_k  \right |  \le \sum_{p + 1}^q |z_k|  \le \sum_{p + 1}^q a_k \le \rvert \sum_{p + 1}^q a_k \lvert < \epsilon

La suite des sommes partielles \sum_{k=0}^{n} z_kest de Cauchy ce qui est équivalent à dire qu'elle  converge (car \C est complet) et donc la série \sum_{n=0}^{+\infty} z_n est convergente.

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 08-09-22 à 13:44

Oups j'ai moi aussi recopié la coquille ! mais je crois que sinon ce que j'ai dis fais sens

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 08-09-22 à 14:27

Est ce que tu valides ?

Posté par
Ulmierere : Convergence série numérique 08-09-22 à 14:28

C'est les bonnes idées mais il y a de petites erreurs.

Tu confonds \sum z_n qui désigne la série de terme général z_n, et \sum_{n=0}^\infty z_n qui désigne la somme de la série \sum z_n..
C'est à dire que \sum z_n = (S_n)_{n\geqslant 0} alors que \sum_{n=0}^\infty z_n = \lim_{n\to\infty} S_n.

Tu as rajouté un \forall p < q qui est faux car fait doublon avec la phrase "soient p,q de tels entiers".

Et tu as aussi interverti un q et un n dans le calcul de |S_p - S_q|.


Enfin, ce n'est pas une erreur, mais tu peux aussi modifier la première phrase et la remplacer par "\sum a_n est une série à termes positifs convergente, donc de Cauchy" et éviter ainsi d'avoir à trimballer des valeurs absolues autour de \sum_{k=p+1}^q  a_k.
Mais c'est peut-être mieux de laisser ça ainsi pour bien montrer à ton prof que tu as compris que a \geqslant 0.

Posté par
Vantinre : Convergence série numérique 08-09-22 à 14:46

En effet merci pour tes remarques et merci à vous deux pour votre aide précieuse je crois que j'ai compris maintenant !! Je ne dois pas rendre cet exercice à un prof, j'ai commencé à étudier l'analyse de fourier et cet exercice était dans le manuel donc j'ai pris la liberté de le faire ! (enfin essayer...)


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !