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Convergence simple

Posté par
matix 07-11-07 à 21:32

Bonsoir,

Je pensais enfin avoir compris la méthode pour étudier la convergence simple des suites de fonctions, et en essayant de faire l'exemple suivant, je m'aperçois qu'il n'en est rien...

On définit la fonction f_n suivante:

f_n(x)= x + \frac{1}{2x^2 + n^4 + 1}

On demande d'étudier la convergence simple sur \mathbb{R}.
Une correction très succinte informe que f_n converge simplement sur \mathbb{R} vers f, avec f(x)=x. Je ne vois pas comment on parvient à ce résultat.

J'avais commencé par calculer f_n(0), ce qui est égal à \frac{1}{n^4+1}, qui converge vers la fonction nulle en l'infini, ce qui, déjà, est différent de x!

Pouvez-vous me montrer comment raisonner, faire, et m'indiquer une méthode générale à appliquer pour ce type de question?

D'avance, merci.

Posté par
Roulianere : Convergence simple 07-11-07 à 21:34

Bonsoir,

Tu fixes x, et tu fais tendre n vers +oo, c'est clair alors que fn converge vers f(x)=x, non ?

Posté par
Roulianere : Convergence simple 07-11-07 à 21:35

et f_n(0) converge bien vers x=0 !

Posté par
matixre : Convergence simple 07-11-07 à 21:39

Reprenons... Si f_n(0) converge vers 0, cela signifie bien que f_n ne converge pas vers x sur \mathbb{R} tout entier si?? Il n'est pas clair pour moi qu'à x fixé, f_n converge vers x... Comment fais-tu?

Posté par
Roulianere : Convergence simple 07-11-07 à 21:48

T'es bien d'accord qu'à x fixé, 3$ \frac{1}{2x^2%20+%20n^4%20+%201} converge vers 0 ?

Posté par
matixre : Convergence simple 07-11-07 à 21:52

En faisant un équivalent? Oui, pour ça, ok.

Posté par
Roulianere : Convergence simple 07-11-07 à 21:53

même pas, en faisant tendre n vers +oo, ça tend clairement vers 0, non ?

Posté par
matixre : Convergence simple 07-11-07 à 21:56

ok

Posté par
Roulianere : Convergence simple 07-11-07 à 22:00

donc f_n(x) tend vers x.

Posté par
matixre : Convergence simple 07-11-07 à 22:02

Là, ça ne va plus...!

Posté par
matixre : Convergence simple 07-11-07 à 22:02

Pourquoi pas vers 0?

Posté par
Roulianere : Convergence simple 07-11-07 à 22:10

ben on a x + quelque chose qui tend vers 0.

Posté par
matixre : Convergence simple 07-11-07 à 22:12

Mais f_n(0)=0 et non x!

Posté par
Roulianere : Convergence simple 07-11-07 à 22:12

pour l'instant je te parle de f_n(x), pas de f_n(0) !

Posté par
matixre : Convergence simple 07-11-07 à 22:16

Mais x peut être égal à 0 non? Pour x différent de 0, je suis d'accord, donc sur \mathbb{R}^*

Posté par
H_aldnoerre : Convergence simple 07-11-07 à 22:17

simplement :
\rm \lim_{x\to +\infty}\, f_n(x)=\{{0\, si \, x=0\\x\, si \, x\neq 0 donc \rm \lim_{x\to +\infty}\, f_n(x)=x

Posté par
matixre : Convergence simple 07-11-07 à 22:19

Je ne comprends pas bien pourquoi..

Posté par
H_aldnoerre : Convergence simple 07-11-07 à 22:22

si tu es pas convaincu, calcule \rm \lim_{x\to +\infty} f_n(x)-x

Posté par
Roulianere : Convergence simple 07-11-07 à 22:22

Je comprends pas ce que tu comprends pas.

La limite de 3$ x%20+%20\frac{1}{2x^2%20+%20n^4%20+%201} pour tout x réel fixé est x donc fn(x) converge vers x.

Posté par
H_aldnoerre : Convergence simple 07-11-07 à 22:22

d'ailleurs, je me trompe, c'est n qui tend ...

Posté par
H_aldnoerre : Convergence simple 07-11-07 à 22:24

(slt rouliane! j'vous laisse!)

Posté par
Roulianere : Convergence simple 07-11-07 à 22:24

salut H_aldnoer !
bonne soirée.


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