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convergence simple
Bonjour, j ai Un=(sin² x)(cos^n x) avec x [0,pi/2, j ai calcule sa limite entre [0;pi/2] qui est egale a 1+cosx
Est ce que je peux dire que Un converge simplement vers 1+cosx sur [0,pi/2]sans rien dire d autre.
bonjour
A supposer que la limite simple Un sur [0,Pi/2[ est U(x)=1+cos(x), vous ne pouvez pas affirmer la convergence simple de (Un) vers U sur [0,Pi/2] .
En effet:
Un(Pi/2) = 0 et donc lim Un(Pi/2)=0 alors que U(pi/2)=1
Je me suis trompe dans l enonce j ai bien Un(x)=(sin² x)(cos^n x) avec x [0,pi/2] mais lim Sn=1+cosx quand n tend vers l infini avec Sn la somme partielle de Un
Bonjour, je voudrais savoir comment faire pour trouver qu une fonction converge simplement vers une fonction.
Par exemple, avec Un=(sin²x)(cos^n x) a l interieur de [0,pi/2]. Merci
Bonjour je voudrais savoir comment déterminer qu une série de fonction converge uniformément.
Par exemple, j ai Un= (sin² x)(cos^n x) avec x entre [0,pi/2]
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Bonjour.C'est à la série des Un que tu t'interesse? Voila comment on procède en général.
Tu peux regarder une convergence normale eventuelle...A mon avis vu la tête de ta fonction, la série doit converger normalement donc uniformément.
Si elle ne voverge pas normalement, il te faudra majorer le reste de ta série uniformement en x et montrer que ce majornat tend vers 0...plus pénible.
Une dernière méthode tu peux appliquer le critère dit de cauchy uniforme, très utile en théorie, mais pas beaucoup en pratique quand tu dois etudier précsiément une serie donnée. Cela consiste à majorer uniformément en x une tranche de cauchy, attention cela ne fonctionne que si le terme générale de ta série sont des fonctions continues.
Si ces deux méthodes ne donnent rien, alors c'est que ta série ne doit pas converger uniformément... tu peux chercher es arguments ddans ce sens...non continuité de la limite simple, etudier précisément le sup du reste...
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Bonjour
- Tu choisis x, et tu fais tendre n vers l'infini
* x = 0 cos x = 1 donc (cos x)n = 1 et un = 1.0 = 0 pour tout n
* x > 0 (cosx)n est une suite géométrique de raison inférieure à 1, qui converge donc vers 0
un est le produit de ceci par sin2x qui est borné par 1, donc converge vers 0
Donc pour tout x, lim un(x) = 0
La limite simple de la fonction un(x) est la fonction nulle sur [0;Pi/2]
Sur l'autre topic, il t'est démontré que un(x) tend simplement vers la fonction nulle.
Calcule le sup de un(x) en dérivant un(x) et en résolvant un'(x) = 0
Etudie la limite de ce sup quand n tend vers l'infini.
Si cette limite est 0, alors la convergence est normale, donc uniforme.
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Pardon, j'ai mal lu. mais l'astuce est toujours la même, utilise sin2x=1-cos2x.
Par ailleurs, si c'est un produit, ce n'est pas très difficile à dériver...
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