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Convergence simple & uniforme (suites de fonctions)

Posté par
jimijims 23-01-15 à 10:49

Bonjour,

J'ai posté un message hier concernant le même chapitre, je suis désolé de refaire appel à vous, mais j'aimerai avoir une confirmation pour être sûr d'avoir compris, après je ne vous embête plus (enfin j'espère ne plus avoir besoin d'aide !)

Soit f_n(x) = \left\{\begin{matrix}nx - \dfrac{1}{n} & \text{si $x \in [0;\dfrac{1}{n}]$} \\1 - x & \text{si $x \in [\dfrac{1}{n};1]$}\end{matrix}\right.. On demande d'étudier la convergence simple puis uniforme de la suite des (f_n).

Convergence simple :
Si x = 0, f_n(0) = - \dfrac{1}{n} et \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 0.
Si x = \dfrac{1}{n}, f_n(\dfrac{1}{n}) = 1 - \dfrac{1}{n} et \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 1.
Si x = 1, f_n(1) = 0, et \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 0.
Si 0 < x < \dfrac{1}{n}, et \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n(x) = + \infty.
Si \dfrac{1}{n} < x < 1, et \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 1 - x.
Donc (f_n) ne converge pas simplement vers f sur ]0 ; \dfrac{1}{n}[, et (f_n) converge simplement vers f(x) = \left\{\begin{matrix}0 & \text{si $x = 0$}\\1 & \text{si $x = \dfrac{1}{n}$}\\0 &\text{si $x = 1$}\\1 - x & \text{si $\dfrac{1}{n} < x < 1$}\end{matrix}\right.

Convergence uniforme
f_n(x) - f(x) = \left\{\begin{matrix}- 1/n& \text{si $x = 0$}\\- \dfrac{1}{n} & \text{si $x = 1/n$}\\n - \dfrac{1}{n} &\text{si $x = 1$}\\0 & \text{si $\dfrac{1}{n} < x < 1$}\end{matrix}\right.
||f_n - f||_{\infty} = 1 car \displaystyle \lim_{n \to + \ïnfty} - \dfrac{1}{n} = 0 et \displaystyle \lim_{n \to + \infty} n - \dfrac{1}{n} = 1.
Donc (f_n) ne converge pas uniformément sur [0;1] car ||f_n - f||_{\infty} \neq 0

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 10:53

Pardon ||f_n - f||_{\infty} = + \infty car \displaystyle \lim_{n \to + \infty} n - \dfrac{1}{n} = + \infty

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 11:19

Bonjour

f(x) = 1 si x = 1/n : pour quelle valeur de n ? ça n'a pas de sens ton truc, il faut revoir ce que tu as fait pour la convergence simple

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 11:21

indice : pour tout x strictement compris entre 0 et 1, il existe un N entier naturel non nul tel que x > 1/N....

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 11:24

Merci de m'avoir répondu.

Pour n \neq 0.
Par contre je ne comprends pas où est l'erreur, hormis l'oublie de n \neq 0...
La convergence simple, c'est bon ? Ce n'est que dans la convergence uniforme qu'il y a un soucis ?

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 11:34

En répondant, je n'avais pas vu ton deuxième poste, désolé, mais je ne comprends quand même pas ce qu'il manque ou ce qui est faux en fait :/

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 11:38

que vaut n, dans la fonction f que tu prétends être la limite simple de la suite des f_n ?

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 11:38

c'est dans la convergence simple, le souci ! n tend vers l'infini, il n'a pas une valeur fixée.

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 11:52

Ah je pense avoir compris le problème,

Je dis que f(x) = 0 si x = 0 et f(x) = 1 si x = \dfrac{1}{n} \rightarrow 0 en + \infty, donc je me contredis, c'est bien ?

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 11:59

si tu donnes à x une valeur fixée, il ne peut pas être égal à 1/n, qui lui, n'a pas de valeur fixée puisque n tend vers l'infini

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 12:04

salut

et si tu dessinais f_1, f_2 et f_3 ... pour voir ...


tu peux même le faire sur sine qua none (menu :: famille de fonctions (à paramètres))

....

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 12:09

Sine qua none n'est apparemment pas compatible Mac :/

Ok je vois le soucis, du coup c'est le même lorsque je dis "si \dfrac{1}{n} < x < 1 ... et si 0 < x < \dfrac{1}{n}..." ?

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 14:44

exactement
ce que tu dois dire, c'est "soit x tel que 0 < x < 1", puis "pour tout n entier supérieur à 1/x, on a f_n(x) = ..."

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 23-01-15 à 20:43

enfin ça se dessine à la main très facilement ... puisque f_n est constituée de deux fonctions affines ....

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 12:14

Pourquoi pour tout n supérieur à \dfrac{1}{x} ?

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 12:52

voila ::

Convergence simple & uniforme (suites de fonctions)

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 12:53

Je ne comprends toujours pas en quoi le schéma peut m'aider :/

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 13:07

tu ne vois pas que où que tu places x, il est sur l'intervalle où f_n(x) = 1-x dès que n est assez grand ?

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 13:18

ne vois-tu pas que l'intervalle [0, 1/n] tend vers {0} quand n tend vers +oo ?

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 13:24

Formulé comme ca, si, merci

Du coup je dois étudier que que la suite (f_n) définie par f_n(x) = 1 - x sur [0;1] ?

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 13:31

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 13:33

Je suis complètement largué...

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 13:38

ne comprends-tu pas que la suite de fonctions (f_n) converge simplement vers la fonction f : x \mapsto 1 - x

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 14:20

c'est pas comme si on t'avait déjà dit plusieurs fois comment le prouver : soit x tel que 0 < x < 1
alors pour tout n entier supérieur à 1/x, x > 1/n, donc f_n(x) = 1-x
tu n'as plus qu'à regarder vers quoi tend 1-x lorsque n tend vers l'infini !

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 16:19

Oui je sais que vous me l'avez dit plusieurs fois, mais ce n'est pas pour autant que je comprends pourquoi on doit regarder ce qui se passe quand n est supérieur à 1/x, c'est justement ceci qui me bloque... Comment penser à faire ça et pourquoi, et ca mon problème... Je suis désolé à faire je vais vous taper sur le système :/

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 17:03

pour tout x dans [0,1] puisque n tend vers +oo il existe N tel que n > N ==> 1/n < x <==> n > 1/x ....

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 18:49

Je viens d'acheter deux livres avec de nombreux exemples, je vais m'y replonger demain, j'ai des exercices similaires à celui ci avec 1/n, je vais essayer de comprendre...
Merci à vous deux de m'avoir apporté de l'aide !

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 24-01-15 à 18:53

n tend vers l'infini, donc il devient aussi grand qu'on en a envie, en particulier il finit par devenir plus grand que 1/x ....

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 26-01-15 à 11:34

Bonjour,

Je me suis replongé dedans, je comprends (un peu) mieux ce qu'on fait, j'ai juste une hésitation sur le fait qu'on doit regarder ou non ce qu'il se passe si x = 0 et si x = 1.

\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0, donc si x = 0 alors \lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 0
Si x = 1 alors \lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 0
Pour tout 0 < x < 1, il existe n_0 \in \mathbb{N}^{*} tel que x > \dfrac{1}{n_0}.
n \geqslant n_0 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{1}{n_0} < x et donc \lim_{n \to + \infty} f_n(x) = 1 - x.
Donc (f_n) converge simplement vers f(x) = \left\{\begin{matrix}0 & \text{si $x = 0$}\\1 - x &\text{si $0 < x < 1$}\\0 & \text{si $x = 1$}\end{matrix}\right.

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 26-01-15 à 12:11

f_n(x) - f(x) = \left\{\begin{matrix}- \dfrac{1}{n} - 0 & \text{si $x = 0$}\\1 - x - (1- x) & \text{si $x > 0$}\end{matrix}\right. = \left\{\begin{matrix}0 & \text{si $x = 0$}\\0 &\text{si $x > 0$}\end{matrix}\right.
Donc || f_n(x) - f(x)||_{\infty}= 0, donc (f_n) converge uniformément vers f sur [0,1]

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 26-01-15 à 19:13

il n'y a pas besoin de distinguer le cas x = 1 pour la convergence simple ....

je dirais plutôt ::

Citation :
Donc || f_n(x) - f(x)||_{\infty}= \dfrac 1 n


...

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 26-01-15 à 19:14

et c'est à revoir si x > 0 ....

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 26-01-15 à 22:10

la convergence ne peut pas être uniforme : les fonctions sont toutes continues sur [0; 1], mais la limite n'est pas continue en 0 ...

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 26-01-15 à 22:12

f_n(x) - f(x) n'est pas nul sur [0; 1/n], loin de là ....

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 28-01-15 à 09:53

Donc en fait on a : f_n(x) - f(x) = \left\{\begin{matrix}x - 1 & \text{si $x \in [0,\dfrac{1}{n}]\\0 & \text{si x \in $[1/n,1]$}\end{matrix}\right. ?

Merci en tout cas

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 28-01-15 à 09:55

f_n(x) - f(x) = \left\{\begin{matrix}x - 1 & \text{si $x \in [0,1/n]$}\\0 & \text{si $x \in [1/n,1]$}\end{matrix}\right.

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 28-01-15 à 11:38

Ou plutôt f_n(x) - f(x) = \left\{\begin{matrix}0 & \text{si $x = 0$}\\x-1 & \text{si $x \in ]0,1/n]$}\\0 & \text{si $x \in ]1/n,1]$}\end{matrix}\right.

Posté par
lafol Moderateurre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 28-01-15 à 15:37

f_n(x) - f(x) ne dépendrait pas de n réfléchis un peu, si tu veux avancer !

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 28-01-15 à 17:02

soit n fixé

que vaut fn(x) - f(x) ?

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 29-01-15 à 12:53

Si x = 0, f_n(x) - f(x) = - \dfrac{1}{n}.
Si x \in ]0,1/n], f_n(x) - f(x) = x(n - 1) - \dfrac{1}{n}.
Si x \in ]1/n,1], f_n(x) - f(x) = 0.

Maintenant j'étudie les extremas dans le cas x = 0 et x \in ]0,1/n] ?

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 29-01-15 à 13:01

Si x \in ]0,1/n], f_n(x) - f(x) = x(n -1) - \dfrac{1}{n} - 1

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 29-01-15 à 13:11

Si x \in ]0,1/n], f_n(x) - f(x) = x(n + 1) - \dfrac{1}{n} - 1.
C'est une fonction affine, avec n + 1 > 0 donc la fonction g_n(x) - g(x)est croissante, g_n(0) = - \dfrac{1}{n} - 1 et g_n(1/n) = 0
Donc ||g_n||_{\infty} = 1 \neq 0
Donc la convergence de (f_n) vers f n'est pas uniforme ?

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 29-01-15 à 13:14

La fonction g_n(x) est croissante pardon

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 29-01-15 à 13:31

||g_n|| = 1+ 1/n > 1

ensuite c'est correct ...

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 29-01-15 à 14:50

Ah enfin !! Merci beaucoup

Pourquoi n'ai-je pas le droit de faire la limite de 1/n dans le sup ?

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 29-01-15 à 16:26

ben si on fait la limite ... mais il faut calculer exactement la norme auparavant ...

Posté par
jimijimsre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 31-01-15 à 17:28

D'accord, merci beaucoup pour ton aide !

Posté par
carpediemre : Convergence simple & uniforme (suites de fonctions) 31-01-15 à 17:50

de rien


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