pour la convergence simple, dans a) si n<x<=2n ça converge pas simplement...
pour b) dans le premeir cas ça converge pas simplement.
pour c) dans les deux premeirs cas ça converge pas simplement.

pour a) le sup de fn est n atteint en x=n pour le 1er cas
donc ça converge pas uniformément,dans les deux autres cas,le sup est 0 ça converge donc uniformément seulement dans le dernier cas.

? est-ce correct?

Bonjour robby

Pour la a), il faut remarquer que les intervalles bougent : x n'est pas tout le temps entre n et 2n pour tout n. Tu vois où je veux en venir ?
Même remarque pour b et c.

Kaiser

pour b) il ya convergence uniforme seulement dans le 2eme cas (sup=1)

Bonjour Kaiser!

je vois ou tu en viens!! tout est faux!!!

robby > pour la convergence simple, voici la méthode à adopter :

tu fixes x et tu regarde le comportement de pour n assez grand.
Par exemple, pour la a) que se passe-t-il si on raisonne comme ça ?

Kaiser

oui mais lorque x est comprsi entre n et 2n il n'y a pas convergence simple alors que dans les deux autres cas oui vers x et 0 non?

ça dépend bien des intervalles?

pas du tout ! du moins, pas pour les grandes valeurs de n.
par exemple, si l'on fixe x et on regarde ce qu'il se passe lorsque n est assez grand. Posons N la partie entière de x + 1 (+1 pour être tranquille).
alors tu vois bien que et donc pour tout n supérieur à N, on a et donc que vaut pour tout n supérieur à N ?

Kaiser

Salut,
ce que tu dis n'as pas de sens, puisque x est fixé et n varie.
Donc tu ne peux pas avoir x compris entre n et 2n pour tout n.
a+

je comprens pas, fn(x)=x alors?

robby > oui mais pour n assez grand (le n à partir duquel ceci est vrai dépend bien évidemment de x).
au passage, salut otto !

Kaiser

oui salut otto au passage aussi..

huumm moué je sais pas si j'ai bien saisi...on prend toujours la partie entiere +1...??

Salut Kaiser,
je pense robby que tu ne maitrises pas du tout les concepts et que tu ne comprends pas ce qui se passe.

Avant de t'attaquer à des exemples de ce genre, tu devrais voir ce qui se passe sur des exemples plus simples.
L'exemple classique est celui de la fonction x->x^n sur [0,1].

Convergence ponctuelle?uniforme?


La convergence ponctuelle peut être vue comme la convergence coordonnée par coordonnée, tandis ce que la convergence uniforme serait la convergence de la fonction en taut qu'objet, au sens de sa norme.

Lorsque tu as un vecteurs de R^2, du genre (x_n,y_n), il converge (en norme) vers le vecteur (x,y) si et seulement si il convergen coordonnée par coordonnée vers le vecteur (x,y).

Pour les fonctions, tu peux voir la convergence ponctuelle (simple) comme une convergence à x fixé de f_n(x) vers f(x). Ca correspond à sa convergence coordonnée par coordonnée.
La convergence uniforme correspond à la convergence en norme, mais attention, maintenant les deux notions ne sont plus du tout équivalentes. (mais la convergence en norme implique toujours la convergence coordonnée par coordonnée)
a+

le + 1 c'est pour être tranquille. En effet, si on prenait seulement la partie entière, il y a des x pour lesquels ça ne marcherait pas : par exemple, les réels qui ne sont pas des entiers comme 3/2. sa partie entière vaut 1 mais .

Kaiser

J'espère que ce que je t'ai dit va t'aider à mieux cerner les concepts.

ok otto...aprés avoir affirmer que je n'y comprenais rien,je confirme!!

x^n,on l'a fait en TD mais la c'était plus simple je trouve...

pour le b) par exemple,on fixe le x mais je comprens pas comment on fait aprés,tu me dis coordonnées par coordonées...??

Je dis coordonnée par coordonnée pour faire un parallèle avec l'étude de convergence des vecteurs.

quand tu as étudié la convergence simple de x^n sur [0,1), qu'as tu fait?

Tu as fixé x, et tu regardes comment ca varie quand n varie.

Maintenant, fais la même chose avec tes trois fonctions.

Ensuite, quand tu as étudié la convergence uniforme, tu as regardé le sup de x^n-0 (parce que la seule limite uniforme possible était la fonction nulle )

Ici, tu dois faire la même chose.

Par exemple, pour ta fonction a, la limite simple est f(x)=x.

Vois tu pourquoi?

ah oué mais moi pour x^n j'ai vu ça comme une suite géométrique de raison |r|<1...donc voila.

et bien lorque x<=n c'est fn(x)=x. enfin c'est pour ça que j'ai dit x...

Mais comme x est fixé, il existe toujours n tel que x>n, non?

oui...

bon,malgré mes lacunes importantes,je tente de continuer ...si on fixe x dans le b) est-ce qu'on a fn(x)=1/x ?

Il faut distinguer les cas selon que x est nul ou pas.
Si x est nul, ça fait toujours 0.
Sinon, ce que tu dis est est vrai mais encore une fois, pour n assez grand.

Kaiser

oui pour n asez grand!!

si x=0 ça fait toujours 0...euhh ok d'accord,je crois que c'est bon,enfin je crois seulement.

donc ça, converge simplement pour x fixé et n assez grand.

mais par exemple pour le c) on distingue aussi si x est nul non?
je crois bien que oui et la c'est soit 0 ou 2 non (x=0)

je reviendrais demain soir pour tenter de finir l'exercice.

Bonne nuit et merci de votre aide.

OK à demain !

Kaiser

bonsoir,juste pour dire à Kaiser qu'on va remettre  ça parce que la je fais du français depuis 17h que je suis rentré et j'ai pas fini donc on verra la suite de l'exerice demain soir ou alors jeudi aprés midi.
Merci encore et désolé.

Re, je reprend un peu ce soir l'analyse...

pour le c) en fixant x et pour n grand on voit sauf erreur que fn(x) est simplement convergente vers 0.

ainsi si fn converge uniformément c'est vers la fonction nulle. Or si je regarde bien le sup de fn pour x fixé est 1 donc fn ne converge pas uniformément.
est-ce correct comme raisonnement?

Oui.

Bonsoir, robby3.

Bonsoir Perroquet!
quand tu dis oui c'est oui c'est juste ou oui bonsoir...?

pour le b) si fn converge uniformément c'est vers f= 1/x si xdifférent de 0 et 0 si x=0

si x=0,le sup de fn vaut 0 mais si x différent de 0, le sup de fn est 1 sauf erreur donc il n'y a pas convergence uniforme de fn.
est-ce correct?

...et donc pour le a) si fn converge uniformément c'est vers la fonction f(x)=x or pour x fixé,on regarde le sup lorque n est grand et on trouve n sauf erreur donc il n'y a pas convergence uniforme de fn.
non?

bon désolé mais la je vais pieuter,j'ai du sommeil à rattraper.(hier je me suis couché a 3h30 pour faire du français...en maths pures!! un comble!! je vous raconte meme pas à quel point j'était content...

allez, bonne nuit et a demain, je serais présent!!

Pour la question c, c'est juste.

Pour les questions b et a, il y a une erreur:
Dans les deux cas, f_n-f n'est pas bornée.
Je te l'explique pour la question a , et tu adapteras pour la question b.

Pour x dans [0,n] f_n(x)-f(x)=0
Pour x dans [n,2n]: f_n(x)-f(x)=2n-2x
Pour x>2n : f_n(x)-f(x)=-x
On constate donc en particulier que f_n(x)-f(x) tend vers -l'infini quand x tend vers +l'infini. Donc, f_n(x)-f(x) n'est pas bornée sur [0,+l'infini[ (ceci quel que soit n).

Or, on sait que (f_n) converge uniformément vers f sur A si et seulement si (f_n-f) est bornée à partir d'un certain rang N et .

Comme la première condition n'est pas réalisée, il n'y a pas convergence uniforme sur [0,+l'infini[.

pour la convergence uniforme ça dépend des intervalles??

sinon je suis tout à fait d'accord avec ce que tu as marqué.

Pour la question a:

(f_n) converge uniformément vers f(x)=x sur tout intervalle [0,a] (et cela n'entraîne pas la convergence uniforme sur [0,+l'infini[

Ok d'accord Perroquet,merci de ton aide je pense que j'ai mieux compris.

Je remerci aussi Otto et Kaiser pour leur aide toujours aussi bénéfique.

je serais la demain pour approfondir mes connaissances la-dessus.
Merci et à bientot bonne nuit à tous.