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Convergence uniforme

Posté par Nyna (invité) 29-10-07 à 13:16

Bonjour, j'ai un exercice à faire sur la convergence uniforme et je ne suis pas du tout à l'aise dans ce sujet, je vous mets l'ennoncé :

Montrer que si (fn) est une suite de fonctions continues de [0,1] dans R qui converge uniformément vers une fonction f sur ]0,1[ alors la convergence est uniforme sur [0,1].

Pouvez vous m'aider à résoudre ce probleme ? Merci d'avance.

Posté par
kaiser Moderateurre : Convergence uniforme 29-10-07 à 14:06

Bonjour Nyna

Je te propose la démarche suivante :

1) Si g est une fonction continue sur [0,1], montre que

\Large{\sup_{x\in [0,1]}|g(x)|=\sup_{x\in ]0,1[}|g(x)|}

2) En appliquant un théorème, montre que f est prolongeable en 0 et en 1 en une fonction continue sur [0,1]

3) montre que \Large{(f_n)} converge uniformément vers f sur [0,1] en utilisant 1).

Kaiser


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