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convergence uniforme

Posté par
Cryptocatron-11 25-12-11 à 19:10

Bonsoir,

je me posais une question sur un topic ou l'énoncé était :

Citation :
Soit une série de fonction de terme général
\frac {t} {n^a+t^2} avec n>=1
montrer que cette série ne converge pas uniformément sur R lorsque a<=2


Ce que j'aurai essayé de faire c'est dériver \frac {t} {n^a+t^2} afin de trouver le sup
Ensuite on remplace t par la valeur pour laquelle f ' s'annule (j'ai trouvé n^{a/2} comme valeur) . On arrive à \frac{1}{2n^{a/2}} si a vaut 2 on a la série harmonique et on sait que ça diverge donc a doit être inférieur à 2.

Sans aucune certitude ...

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme 25-12-11 à 20:10

Bonsoir Cryptocatron-11

Attention, la seule chose que tu montres avec ce raisonnement est que cette série de converge pas normalement, ce qui n'est qu'un cas très particulier de convergence uniforme.

Pour montrer dans ce cas que la convergence uniforme n'a pas lieu, il faut s'intéresser au reste et montrer qu'il ne converge pas uniformément vers 0.

On considère donc \large{S_n(t)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{t}{n^a+t^2}}.

Si \Large{S_n} convergeait uniformément vers 0, alors pour toute suite \Large{(t_n)}, \large{S_n(t_n)} tendrait vers 0.

En choisissant bien cette suite et en remarquant que \large{S_n(t)\geq\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{t}{n^a+t^2}}, on pourra montrer le résultat voulu.

Je te laisse continuer.

Kaiser

Posté par
Cryptocatron-11re : convergence uniforme 26-12-11 à 11:30

eh bien la suite \dfrac{t}{n^a+t^2}} est de même nature que \frac{1}{n^a}. Donc après c'est trivial. On sait que pour que \bigsum \frac{1}{n^a} converge sur ]1;+\infty] il faut que a \geq 2 . Et terminé ... je vois pas quoi dire de plus

La sommation jusqu'à 2n tu la mis au hasard car si on met 3n ou 4n ça change rien non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme 26-12-11 à 12:01

oups, je me suis trompé d'indice dans la somme :

\large{S_n(t)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{t}{k^a+t^2}}

Sinon, je ne suis pas sur que ce soit aussi trivial que tu l'affirmes.
Si l'on fait dépendre t de n, ton raisonnement de marche pas (je parle de l'équivalent)

Citation :
La sommation jusqu'à 2n tu la mis au hasard car si on met 3n ou 4n ça change rien non ?


On aurait pu, mais ce n'était pas du hasard.
En fait, tu as dû voir en cours que la convergence uniforme d'une série de fonctions équivalait au fait que tranches de Cauchy (c'est-à-dire des sommes finies de termes consécutifs de la série), sont "uniformément contrôlés" par \large{\varepsilon} pour des indices suffisamment grand, et ce quel que soit le nombre de termes de cette somme.

Ici, je m'intéresse aux tranches de Cauchy qui ont n termes. Lorsque n tend vers l'infini, le nombre de termes tend aussi vers l'infini (on montrera alors les tranches de Cauchy ne sont pas "uniformément contrôlés")

ça marche donc aussi avec 3n ou 4n.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme 26-12-11 à 12:08

ah oui, j'oubliais. Avec ma rectification, on a aussi :

\large{S_n(t)\geq\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{t}{k^a+t^2}}

Kaiser

Posté par
Cryptocatron-11re : convergence uniforme 26-12-11 à 12:28

Si je comprend bien pour un n trop petit les premiers termes que tu ajoutes dans la somme ne respecteront pas la distance \epsilon.
Alors que si je prend un n assez grand , ils respecteront la distance \epsilon . à partir de n+1 c'est le cas pour qu'il y est convergence uniforme

et moi il faut que je montre que si a=2 , même en prenant à partir de n+1 , c'est pas uniformément controlé par \epsilon , c'est à peu près l'idée ?

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme 26-12-11 à 12:52


Désolé, je n'ai pas très bien compris, donc je vais essayer de répondre comme je peux. Tu me diras si j'ai bien répondu à ta question.

En fait, il n'y a pas de rapport avec les premiers termes (d'indice compris entre 1 et n) puisque dans la somme \large{S_n} (qui est le reste de la série), on commence à partir de n+1, donc , comme tous les termes sont positifs, cette somme est supérieure à une somme quelconque de termes dont l'indice est au moins n+1 (donc ceux d'avant, on s'en fiche).

pour qu'il y ait convergence uniforme, il faudrait que, étant donné \varepsilon, on puisse trouver un entier N tel pour tous entiers n et p, avec n supérieur à N, on ait

\large{\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}\dfrac{t}{k^a+t^2}\right|\leq \varepsilon}

Dans le cas qui nous occupe, on veut montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme quand a\leq 2, donc on nie ce contrôle en s'intéressant à ces tranches de Cauchy, avec p=n et n qui devient de plus en plus grand (et on va montrer qu'elles ont inférieurs à un nombre strictement positif indépendant de n, donc a fortiori, elle ne pourront pas être inférieur à un \varepsilon trop petit.

Ai-je bien répondu à ta question ?

Bref, commence par minorer \large{\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{t}{k^a+t^2}}. Ensuite, choisi le bon t_n.

Kaiser

Posté par
Cryptocatron-11re : convergence uniforme 26-12-11 à 17:26

En fait on cherche à montrer que   \sup_{x\geq 0}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac x{x^2+k^2} diverge

est ce que ça marche si j'utilise la technique des intégrales ?

Je pose \sup_{x\geq 0}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac x{x^2+k^2}=\sup_{x\geq 0}\sum_{k=1}^{n}\frac x{x^2+(n+k)^2}
et j'essaie de primitiver \int \frac x{x^2+(n+k)^2} dk afin de montrer que \sum_{k=1}^{n}\frac x{x^2+(n+k)^2} diverge

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme 26-12-11 à 17:38

Citation :
En fait on cherche à montrer que \sup_{x\geq 0}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac x{x^2+k^2} diverge


Pas forcément. S'il tend vers une limite finie non nulle, on aura aussi ce que l'on veut.
Ici, on va simplement montrer que S_n(t_n) est minorée par une constante strictement positive pour une suite (t_n) bien choisie.

Citation :
est ce que ça marche si j'utilise la technique des intégrales ?


Il faudrait voir si on peut effectivement appliquer cette technique car les termes de ta somme dépendent de k et de n.
Ici, ça va être beaucoup plus simple.

Essaie simplement de minorer la somme \large{\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{t}{k^a+t^2}} en fonction de t et de n.


Kaiser

Posté par
Cryptocatron-11re : convergence uniforme 26-12-11 à 17:49

Ok j'abandonne cette idée alors minorons :

\sup_{x\geq 0}\sum_{k=n+1}^{2k}\frac x{x^2+k^2} < n \times \frac{t}{(2n)^2+t^2}. On prend t=n et on trouve 1/5. Donc on peut minorer par 1/5 et voilà.

Citation :
Il faudrait voir si on peut effectivement appliquer cette technique car les termes de ta somme dépendent de k et de n.

j'avais fixé n et je faisais juste varier k.

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme 26-12-11 à 18:03

1) N'oublie pas qu'on veut montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme pour a inférieur à 2, donc vaudrait mieux laisser t^a au lieu de t^2, mais pour a=2, ta minoration est correcte (d'ailleurs, tu as écris < eu lieu de > )

2)

Citation :
j'avais fixé n et je faisais juste varier k.


certes mais n apparait deux fois : il y a un n dans chaque terme et on somme jusqu'à n, donc ce n'est plus une série et on ne peut pas appliquer directement ce raisonnement.
De plus, tu fais forcément varier n car on le fait tendre vers l'infini.

Kaiser

Posté par
Cryptocatron-11re : convergence uniforme 26-12-11 à 18:32

Ah oui je viens de comprendre la subtilité de l'exo.
n \times \dfrac{t}{(2n)^2+t^2}

Tout repose sur ce n qui se trouve devant le multiplié. Si par exemple je prend a>2 par exemple prenons 3 , je devrais multplié par n^{3/2} pour avoir du n^3 en haut et en bas et justement j'ai pas le droit car ça dépasse le nombre de termes n qu'il y a dans la somme. Je crois que cette fois ci c'est bon ? en tout cas merci pour ton aide Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme 26-12-11 à 18:39

Mais je t'en prie !

Effectivement, si a est supérieur à 2, on ne pourra jamais faire ça (on serait obligé de prendre plus de terms dans la somme mais là encore ça ne marcherait pas).

Pour a inférieur à 2, il suffira de remplacer t par \large{n^{\frac{a}{2}}} (pour a=2, ça revient comme tu l'as fait à remplacer t par n)

Kaiser


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