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Convergence uniforme

Posté par
jupi1887 11-06-23 à 15:37

Bonjour,
Voici l'enonce de l'exercice en analyse que je n'arrive pas a faire:
Decidez si la convergence est uniforme sur [0, 1] :
\lim_{x->infini}\sqrt[n]{1+x^n}

Je bloque car je ne trouve pas comment on peut y proceder...
doit-t-on d'abord calculer la convergence ponctuel ou il n'y a pas besoin? Comment est ce que on calcule ||fn(x)||?

* Modération > titre modifié *

Posté par
carpediemre : Convergence uniforme 11-06-23 à 19:23

salut

je suppose que f_n(x) = \sqrt[n]{1 + x^n}

déjà peut-être savoir vers quelle fonction convergent les f_n

donc déjà regarder la convergence simple des f_n ...

Posté par
jupi1887re : Convergence uniforme 12-06-23 à 10:42

Bonjour,
Merci pour votre reponse,  Or je pense que fn(x) est plutot egale a ca: fn(x)=\lim_{x->infini}\sqrt[n]{1+x^n}.
Car sinon pourquoi est ce que il aurait inclu limite de n->infini dans l'enonce?

Posté par
carpediemre : Convergence uniforme 12-06-23 à 12:05

ça ne me semble pas avoir de sens : x appartient à l'intervalle [0, 1] donc il ne peut tendre vers l'infini ...

très certainement une erreur : ce n'est pas x mais n qui tend vers l'infini ...

Posté par
jupi1887re : Convergence uniforme 12-06-23 à 17:53

Bonjour,
Ah oui j'ai fais une erreur c'est pas x c'est n
Oups... Desole

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence uniforme 12-06-23 à 19:50

Bonjour

On a pour tout n\in\mathbb N^* et tout x\in[0,1], \Large\boxed{\sqrt[n]{1+x^n}-1=\frac{x^n}{\sum_{k=0}^{n-1}(\sqrt[n]{1+x^n})^k}}

et donc pour tout n\in\mathbb N^* et tout x\in[0,1], \Large\boxed{0\leqslant\sqrt[n]{1+x^n}-1\leqslant\frac{x^n}{n}\leqslant\frac{1}{n}} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
jsvdbre : Convergence uniforme 13-06-23 à 00:00

jupi1887 @ 11-06-2023 à 15:37

doit-t-on d'abord calculer la convergence ponctuel ou il n'y a pas besoin?

il n'y a aucune obligation, mais dans pas mal de cas, cela donne le candidat à la limite uniforme !

jupi1887 @ 11-06-2023 à 15:37

Comment est ce que on calcule ||fn(x)||?

Et donc si tu ne veux pas avoir la tête du candidat à la limite uniforme, tu calcules directement ||f_n|| qui est en fait une recherche de maximum.
Comme f_n est dérivable sur [0,1], tu dérives et tu t'aperçois que f_n est croissante.
Or f_n (0) = 1 et f_n(1) =2^{1/n}
La conclusion s'impose d'elle même et corrobore le magnifique calcul de notre ami elhor_abdelali ...

Posté par
jupi1887re : Convergence uniforme 13-06-23 à 10:24

ok je comprends maintenant merci beaucoup a tout le monde!


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