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Convergence uniforme et fonction bornée
Bonjour esceque vous pouvez m'aider à faire cette exo svp
Exercice
Soient I⊂R un intervalle,(fn)n∈N:I→R une suite de fonctions et f:I→R une fonction bornee. On suppose que la suite (fn)n∈N converge uniformément vers f sur I.
Montrer qu'il existe N ∈N et M ≥0 tels que,pour tout n≥N et tout x∈I,|fn(x)|≤M.
Que se passe-t-il si la convergence est suppos ́ee simple ?
1er chose je traduit en termes de quantificateurs :
1) f est borné sur I alors 
M>0 tel que |f|
M 
x
f
2) la suite (fn)n∈N converge uniformément vers f sur I signifie que 
>0,NN,xI,|fn(x)-f(x)|
Il existe un lien peut être entre les 2 que je vois pas
Ah oui c'est vrai j'ai oublié d'enlever les valeurs absolue
C'est bon alors c'était les valeurs absolues que j'avais mis qui causait problème
- fn(x)-f(x)
-+f(x)fn (x)+f(x)
-M-fn(x)M+
>0,xI,fn(x)
-M- alors xfnI,fn<-M
>0,fn I,fn(x)M+
Donc fnI,fn>M
Donc sa borne inférieur est M
fn est majoré par -M et minoré par M
Donc M<fn<-M
Je trouve un truc bizarre ,ou me suis tromper car je vois pas ?
1/ f est bornée donc il existe M > 0 tel que pour tout x : |f(x)| < M
2/ la suite (f_n) converge uniformément vers f donc pour tout e > 0 il existe N > 0 tel que pour tout n >= N : |f_n(x) - f(x)| < e
3/ pour tout n : f_n = (f_n - f) + f
4/ prendre la valeur absolue ...
Bonsoir 
Que se passe-t-il si la convergence est supposée simple ?
on pourra considérer la suite de fonctions
Ah merci @carpediem j'ai vu l'astuce qui y a derrière
f est bornée donc M > 0 tel que xI : |f(x)| < M
fnconverge uniformément vers f sur I: >0,NN,xI,|fn(x)-f(x)|
|fn(x)|| fn(x)-f(x)|+|f(x)|+M
Lorsqu'on passe à la limite lorsque ->0+
On obtient l'inegalite large suivante:|fn(x)|M
fn:]0,1]->R
x|—>
La suite (f_n) converge par définition simplement vers f=
nN et x]0,1],|f|<=1
Donc sur ]0,1] f est borné
fnne converge pas uniformément sur ]0,1] donc f ne peut être borné si on considère que la convergence simple
mais par contre sur [a,1] pour a>1/n oui car
sup |fn(x)-f(x)|=0
x[a,1]
non tu ne peux pas conclure tout à fait comme tu l'as fait : si e > M alors tu n'as pas e + M < M !!!
tu dois trouver un majorant de e + M
1/ ne pas oublier les quantificateurs
donc
2/ pour N >= n : par exemple ...
M peut ne pas être le majorant des f_n pour n >= N mais il est certain que 2M ou 3M ou ... le sera à partir d'un certain rang ...
imagine les f_n oscillant autour de f ...
Ok je vois si e>M ça marche pas
Moi j'ai pas compris pour n>=N,M ne peut pas être le majorant des f_n or dans l'énoncé ils ont dit de monter que pour tout n≥N et tout x∈I,|fn(x)|≤M.Ce qui veut dire normalement n>=N on peut trouver un M qui soit majorant des f_n?
Par contre je sais que pour M>e,|f_n(x)|<=M+e<= M
...
2/ pour N >= n :
M peut ne pas être le majorant des f_n pour n >= N mais il est certain que 2M ou 3M ou ... le sera à partir d'un certain rang ...
Le problème j'ai pas compris
Au début du 2) vous avez dit N>=n
Et après 4 ligne plus tard je vois n>=N
Je suis perdu avec tous ces inégalités
Car pour moi je pensais que toujours n doit être supérieur ou egal car dans les définitions c'est toujours comme ça
Pour différencier je nomme M1 le majorant de f et M2 celle des f_n
J'ai relu plusieurs fois mais j'ai pas compris comment vous avez trouvé 2M,3M,… comme majorant de M+e à partir d'un certain rang
M > 0 est un nombre constant : il borne |f|
et e > 0 tend vers 0 !! donc il est certain qu'à un moment on aura M + e < M + M ...
Ok je vois donc on peut majoré par 2 M ok
Une autre chose m+e est majoré par M2=2M
Donc la démo est fini car on a trouvé un majorant des f_n a savoir M2?
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