salut

qui est K ?

pas vraiment ...

dire que B(K, X) est complet signifie que toute suite de Cauchy de B(K, X) converge vers une fonction de B(K, X)

Bonjour,

Tout d'abord merci beaucoup pour votre réponse.
Dans ce cas il y a un quelque chose qui m'échappe…

On cherche bien une fonction bornée f:K->X telle que fn converge uniformément vers f sur K ?
On utilise bien la convergence uniforme ?
Je vous joins la démo en image. Je pense qu'il y a quelque chose que je ne comprends pas…

Merci beaucoup pour votre patience

tu confonds deux choses :

1/ la définition de la complétude (que j'ai rappelée) (de B(K, X))

2/ quelle est la convergence dans B(K, X) : et c'est évidemment la norme infinie (cela doit être dit dans ton bouquin quelque part) :

f_n --> f  <=>  ||f_n - f|| --> 0  <=> sup |f_n(t) - f(t)| --> 0  <=> (f_n) converge uniformément vers f

et on choisit cette norme sur B(K, X) car les fonctions y sont bornées

donc :

1/ on part d'une suite de Cauchy de B(K, X) et on veut montrer deux choses :
      a/ elle converge vers une fonction f
      b/ cette fonction f appartient aussi à B(K, X)

pour a/ la seule candidate est évidemment la fonction f limite de la suite (f_n) pour la convergence simple (évident) (nécessite la complétude de X pour assurer l'existence de la limite de (f_n(t)) pour tout t

pour b/ la norme infinie ou uniforme permet de prouver que f est bornée donc que f appartient à B(K, X)

Je vous remercie BEAUCOUP de m'avoir éclairée et d'avoir pris le temps de me répondre.

C'est clair dans ma tête ☺️
Je vous souhaite une très bonne journée !

de rien et à toi aussi