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convergence uniforme, fonction de classe C2

Posté par anais89 (invité) 22-02-07 à 11:34

Bonjour, on me demande de prouver que la série de Fourier d'une fonction T-périodique de classe C2 converge uniformément vers f.

Je ne vois pas comment commencer et quelle définition de la convergence uniforme il faut utiliser...

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 14:38

Bonjour anais

Pour les séries une condition suffisante est la convergence normale.
Essaie donc de montrer la convergence normale.

Kaiser

Posté par anais89 (invité)re : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 14:43

Je n'ai pas encore étudié la convergence normale... Il n'y aurait pas une autre manière ?

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 14:45

Une petite question : de quels théorèmes sur les séries de Fourier disposes-tu ? Dirichlet, Parseval ?

Kaiser

Posté par anais89 (invité)re : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 14:49

Les deux mais Dirichlet ne me parle que de la convergence ponctuelle.

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 14:51

Autre chose : quelle définition de la convergence uniforme as-tu ?

Kaiser

Posté par anais89 (invité)re : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 15:04

\lim_{k\to+\infty}sup{xI}|fk(x)-f(x)|=0

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 15:08

En fait, avant de montrer la convergence uniforme, il faut au moins démontrer que la série de Fourier converge vers f ponctuellement : ça c'est Dirichlet.

Pour montrer la convergence uniforme, il faut montrer que le reste convergence uniformément vers 0.
En d'autres termes, il faut majorer le reste par une suite indépendante de x et qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Kaiser

Posté par anais89 (invité)re : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 15:13

où est-ce qu'on utilise que la fonction est C2 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 15:16

Essaie d'exprimer les coefficient de Fourier complexes de f en fonction de ceux de f".

Kaiser

Posté par anais89 (invité)re : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 15:37

Pour simplifier l'écriture, je prends T=2. Donc cn(f'')= (in)2cn(f). Je sais aussi que comme f est C2, cn(f) tend vers 0 plus vite que \frac{1}{n^2}.

Dans ma donnée, on fait l'hypothèse que la série de Fourier converge ponctuellement vers f pour tous les x. Par contre, je vois pas trop ce que tu entends par "le reste qui doit converger uniformément". On le trouve comment ce reste ?

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 15:39

le reste est la quantité suivante :

\Large{\bigsum_{|k|\geq n} C_{k}(f)e^{ikx}}

Kaiser

Posté par anais89 (invité)re : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 19:58

Je crois avoir trouvé. Est-ce que c'est juste de dire que
|\sum_{|k|=n}^{\infty} ck(f)eikx|\sum_{|k|=n}^{\infty} |ck(f)|\sum_{|k|=n}^{\infty} |k*ck(f)| qui tend vers 0 quand k->\infty car f' est continue et C1 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 20:00

C'est lorsque n tend vers l'infini.
Sinon, on aurait plutôt \Large{|C_{k}(f)|=\frac{|C_{k}(f') |}{k}}

Kaiser

Posté par anais89 (invité)re : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 20:28

dans ce cas ma conclusion est fausse.
Est-ce que c'est possible de montrer le contraire, c'est-à-dire montrer que la convergence de la série de f' converge uniformément et de majorer comme je l'ai fait. Du coup, on aura convergence uniforme de la série de f ?

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 20:33

En fait, je n'ai pas dit que ce que tu avais fait été faux, mais c'est l'idée.
En effet, plus haut, tu as dit que \Large{|C_{k}(f)|=\frac{|C_{k}(f')%20|}{k^{2}}} et donc à partir de là et en utilisant le genre de majoration de ton message précédent.

Kaiser

Posté par anais89 (invité)re : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 20:37

Merci beaucoup, je crois que je devrais pouvoir conclure. Bonne soirée

Posté par
kaiser Moderateurre : convergence uniforme, fonction de classe C2 22-02-07 à 21:00

Mais je t'en prie !
Bonne soirée à toi aussi !


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