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convergence uniforme, intégration
Bonsoir!
Je n'ai pour l'instant fait que deux exemples d'étude de convergence uniforme en td, donc je ne suis pas très "confortable" avec cette notion, c'est pourquoi j'appelle au secours pour cet exercice, qui n'est surement pas si compliqué avec du recul;
On a la suite de fonctions (fn) définie sur [-1,1] par fn(x)=x*x1/(2n+1) .
*étudier la convergence uniforme de cette suite.
--->pour moi, cette suite converge simplement vers f(x)=|x|, on s'en rend compte grace a une étude aux limites (x->
, x->0) mais pas moyen de montrer la convergence uniforme!
(j'ai essayé de calculer le max de |fn(x)-f(x)| mais pas de résultat probant en faisant la dérivée...)
Comment faire dans ce cas précis?
*En déduire la limite de la suite (-1
1fn(t)dt)
Merci d'avance!
Il serait bon dans un premier temps que tu montres proprement que la suite converge simplement vers ce que tu crois être la limite !
Pour qu'on t'aide, il faudrait aussi confirmer ton énoncé : est-ce bien ?
Si c'est bien cela, tu peux remarquer que ta fonction est paire donc son étude sur [0,1] suffit... et sur [0,1], il est évident qu'elle est strictement croissante.
Ensuite, tu dois pouvoir conclure quant à la convergence uniforme.
Notons au préalable que les fonctions fn sont définies 
+.
En regardant à quoi ressemble fn lorsque n tend vers (plus) l'infini, nous pouvons conjecturer que c'est à la fonction identité (f(x)=x) qu'elle va tendre.
Soit f la fonction identité définie sur .
fn(x) - f(x) = x * (x1/(2n+1) - 1)
Notons que pour un n donné, lorsque x tend vers l'infini, (fn(x) - f(x)) tend également vers l'infini
il ne peut y avoir convergence uniforme de fn vers f sur un ensemble de réels A non borné.
Notons que pour un n donné, lorsque x tend vers zéro, (fn(x) - f(x)) tend vers x
il ne peut y avoir convergence uniforme de fn vers f sur un ensemble de réels A où le zéro est un point d'adhérence.
Conjecture:
Soit A un sous-ensemble 
.
fn converge uniformément vers f sur A. 
A est borné (i) et 0 n'est pas un point d'adhérence de A (ii). En d'autres termes, il existe Rmin et Rmax tel que : 0 < Rmin 
x Rmax.
autre correction:
Notons que pour un n donné, lorsque x tend vers zéro, (fn(x) - f(x)) tend vers -x
ou exprimé autrement
Lorsque x tend vers zéro, |(fn(x) - f(x))| tend vers x
Dernière correction:
Notons que pour un n donné, lorsque x tend vers zéro, (fn(x) - f(x)) est de l'ordre de -x
ou exprimé autrement
Lorsque x tend vers zéro, |(fn(x) - f(x))| est de l'ordre de x
Abou-salma, tu sembles ne pas avoir lu correctement l'énoncé donné par Banthasmaker.
Celui-ci affirme que les fonctions sont définies sur
, ce qui est possible si l'on voit les puissances
comme des racines
èmes.
Mais comme je l'ai dit plus haut, les fonctions sont paires, donc on peut se limiter à .
Par ailleurs, contrairement à ce que tu as l'air de dire, il me semble qu'il n'y a pas vraiment de problème de convergence uniforme, que ce soit au voisinage de 0 ou ailleurs...
Je me suis en effet totalement embrouillé à propos de la continuité uniforme.
Travaillons sur l'intervalle [0,1]
|fn(x) - f(x)| = |x * (x1/(2n+1) - 1)| = x * (1 - x1/(2n+1))
Soit 
>0
i. Si |x|< , alors |fn(x) - f(x)| < * 1
ii. Si |x|
, alors x1/(2n+1) 1/(2n+1) (1 - x1/(2n+1))(1 - 1/(2n+1))
Soit la suite Un= 1/(2n+1) - 1
Cette suite converge vers 0. Il existe donc N 
tel que pour tout nN, |Un| <
Par conséquent
Pour tout nN, |fn(x) - f(x)| x * (1 - 1/(2n+1)) < 1*
La suite fn est uniformément continue sur [0,1] et comme elle est une suite de fonctions paires, elle est uniformément continue sur [-1,1].
(x)
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