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Convergence uniforme suite et série de fonctions

Posté par
bouri 23-10-23 à 15:10

Bonjour,

Il me semble qu'il n'y a pas de lien entre convergence uniforme de séries et de suites de fonctions... J'aimerai donc trouver un exemple tel que fn converge uniformément sur I mais que (fn) ne converge pas uniformément (vers 0) sur I

Merci d'avance
Bonne journée

Posté par
Ulmierere : Convergence uniforme suite et série de fonctions 23-10-23 à 15:16

Que penses-tu de f_n(x) = x^n sur I = ]0,1[

Posté par
bourire : Convergence uniforme suite et série de fonctions 23-10-23 à 15:23

Merci pour la réponse rapide.
Mais je croyais que fn converge uniformément vers 0 sur ]0,1[ non ?
Pour tout a \in ]0,1[, x \in ]0,a] f_n(x) \leq a^n donc \Vert f_n \Vert_{\infty} \leq a^n \rightarrow 0
Donc  fn converge uniformément vers 0 sur ]0,a]
Et comme c'est pour tout a<1, on l'a démontré sur ]0,1[ non ?

Posté par
bourire : Convergence uniforme suite et série de fonctions 23-10-23 à 16:12

J'ai l'impression qu'il n'est pas possible de trouver un contre exemple...
Si \sum f_n converge uniformément sur I alors la suite de ses restes (R_n) converge uniformément vers 0
Et pour tout x \in I, \vert f_n(x) \vert \leq \vert R_{n-1}(x) - R_n(x) \vert \leq \Vert R_{n-1} \Vert_{\infty}+ \Vert R_{n} \Vert_{\infty}
Donc \Vert f_n \Vert_{\infty} \rightarrow 0
Ce qui signifie que f_n converge uniformément vers 0
Qu'en pensez-vous ?

Posté par
Ulmierere : Convergence uniforme suite et série de fonctions 24-10-23 à 12:13

Oui, tu as compris seul grâce à l'histoire des restes qui convergent vers 0 et la norme infini.

Je voulais te faire voir que plus manuellement,
|u_n - u_{n-1}| \leqslant |(u_n - u) - (u_{n-1}-u)| \leqslant |u_n-u| + |u_{n-1}-u|, et cela est valable pour n'importe quelle suite et n'importe quelle valeur de u.

Soit \varepsilon > 0. On injecte cela dans la définiton 'epsilonesque' de la convergence uniforme appliquée à epsilon/2.

Il existe un rang N> 0 à partir duquel pour tout x, |u_n(x) - f(x)| < \varepsilon/2, où on a posé u_n(x) = \sum_{k=0}^n f_n(x).

f(x) joue le rôle de u et si on prend N' = N+1, alors à partir de ce rang, on a bien, pour tout x, |f_n(x)| = |(u_n - u_{n-1})(x)| \leqslant |u_n-f|(x) + |u_{n-1}-f|(x) < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 \leqslant \varepsilon.

Posté par
bourire : Convergence uniforme suite et série de fonctions 24-10-23 à 18:13

Merci beaucoup pour ces explications !


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