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Convergence uniforme sur tout compact
Bonsoir,
Je suis quasiment certain que mon post a déjà fait l'objet d'une réponse, mais cela fait un certain temps que je cherche sans trouver, dans la mesure où je me suis très vite noyé dans des cours d'un niveau supérieur au mien !
Voilà, nous avons affirmé dans notre cours (de MP) que si :
Si est continue sur A et que
converge uniformément vers
sur tout compact de A, alors
est continue sur A.
Mais ce résultat nous est donné sans preuve, et je ne vois pas comment l'établir ! Je ne dispose que la démonstration du cas où f converge uniformément sur un voisinage de A. Mais elle n'est absolument pas transposable dans la mesure où elle utilise le fait que A est un point d'accumulation.
Bref, sauvez-moi ! (s'il vous plaît 
)
Si x est dans A tu peux prendre un segment [a,b] tel que a<x<b et contenu dans A. Ensuite tu peux appliquer le théorème classique sur fn restreinte à [a,b]
Bonjour, Sierpinsky.
La première idée est d'utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité:
est continue si et seulement si pour toute suite
de points de
convergeant vers un élément
de
, la suite
converge vers
.
On considère donc une suite d'éléments de
convergeant vers un élément
de
.
La deuxième idée est d'utiliser le fait que est une partie compacte incluse dans $A$. Pour cela, on n'essayera pas de démontrer que toute suite d'éléments de
admet une valeur d'adhérence (pour ma part, je n'y suis jamais arrivé). On démontrera plutôt que
est une partie fermée bornée de $E$, espace vectoriel normé de dimension finie:
- bornée, c'est facile
- fermée, on montre que le complémentaire de est ouvert (ce n'est pas trop difficile).
Et lorsque est un espace vectoriel normé de dimension infinie ? Dans ce cas-là, on passe par la caractérisation de Borel-Lebesgue des compacts, qui n'est plus au programme de MP (tout comme ce théorème dont tu cherches la démonstration).
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