Niveau maths spé

Convergence vers la borne inférieure

Posté par
Yona0404 15-09-23 à 10:39

Bonjour!!

a) Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle vérifiant:

p,n,r0,   $a_{pn+r} \leq pa_n+r\alpha$

où est un réel fixé.

Montrer que la suite $(\frac{a_n}{n})_{n\geq1}$ converge dans $\bar{\R}$ vers $\inf_{n\geq 1} {\frac{a_n}{n}}$ .

b) Soit f:  [0;1] une fonction croissante. On pose pour tout n1:

$S_n ^f := \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{f(\frac{k}{n})}$ .

Montrer à l'aide de a), que la suite $(S_n ^f )_{n\geq 1}$ converge dans $\R$ vers sa borne inférieure.

Pour a), le " pn+r " m'a fait penser à la division euclidienne. Mais je n'ai pas d'idées claires.

J'ai besoin de pistes pour entamer l'exo.
Merci d'avance!!

Posté par re : Convergence vers la borne inférieure 15-09-23 à 19:57

salut

ben on "divise la relation" vérifiée par la suite par pn + r tout simplement : $\dfrac {a_{pn + r}} {pn + r}\le \dfrac {pa_n} {pn + r} + \dfrac {na} {pn + r}$

et on majore minore le dénominateur convenablement pour simplifier et avoir ce qu'on veut

ce me semble-t-il ...

Posté par re : Convergence vers la borne inférieure 21-09-23 à 23:06

Bonsoir Yona0404

Bonsoir carpediem

Exercice intéressant !

Quelques pistes pour entamer l'exo

$\boxed{0}$ En faisant $\boxed{p=0}$ on a $\boxed{\forall r\in\mathbb N~,~a_r\leqslant r\alpha}$ , on pose alors $\boxed{\forall n\in\mathbb N~,~v_n=n\alpha-a_n}$ .

$\boxed{1}$ La suite $(v_n)_{n\geqslant0}$ est positive et vérifie $\boxed{\forall n,p,r\in\mathbb N~,~v_{np+r}\geqslant pv_n}$ ,

et en faisant $\boxed{p=r=1}$ on voit qu'elle est croissante.

$\boxed{2}$ Si la suite $(v_n)_{n\geqslant1}$ est nulle c'est que $\boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~a_n=n\alpha}$ ,

et donc que la suite $(\frac{a_n}{n})_{n\geqslant1}$ converge bien vers sa borne inférieure puisque constante.

$\boxed{3}$ Sinon, en notant $\boxed{n_0=\min\{n\in\mathbb N^*~/~v_n>0\}}$ et $\boxed{\forall n\geqslant n_0~,~w_n=\frac{v_n}{n}}$ on a,

$\boxed{\forall n\geqslant n_0~,~w_n>0}$ , $\boxed{\forall n\geqslant n_0~,~\frac{w_{n+1}}{w_n}\geqslant\frac{n}{n+1}}$ et $\boxed{\forall n,p\geqslant n_0~,~w_{np}\geqslant w_n}$ .

$\boxed{4}$ Pour ne pas totalement faire l'exo à ta place Yona0404

je te laisse montrer que la suite $(w_n)_{n\geqslant n_0}$ converge vers sa borne supérieure $\boxed{L=\sup_{n\geqslant n_0}w_n}$

en distinguant les deux cas possibles $\boxed{L=+\infty}$ et $\boxed{L\in\mathbb R_+^*}$ _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
21 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Convergence vers la borne inférieure

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths