Niveau maths spé

Convergence vers la borne inférieure

Posté par
Yona0404 15-09-23 à 10:39

Bonjour!!

a) Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle vérifiant:

p,n,r0,   $a_{pn+r} \leq pa_n+r\alpha$

où est un réel fixé.

Montrer que la suite $(\frac{a_n}{n})_{n\geq1}$ converge dans $\bar{\R}$ vers $\inf_{n\geq 1} {\frac{a_n}{n}}$ .

b) Soit f:  [0;1] une fonction croissante. On pose pour tout n1:

$S_n ^f := \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{f(\frac{k}{n})}$ .

Montrer à l'aide de a), que la suite $(S_n ^f )_{n\geq 1}$ converge dans $\R$ vers sa borne inférieure.

Pour a), le " pn+r " m'a fait penser à la division euclidienne. Mais je n'ai pas d'idées claires.

J'ai besoin de pistes pour entamer l'exo.
Merci d'avance!!

Posté par re : Convergence vers la borne inférieure 15-09-23 à 19:57

salut

ben on "divise la relation" vérifiée par la suite par pn + r tout simplement : $\dfrac {a_{pn + r}} {pn + r}\le \dfrac {pa_n} {pn + r} + \dfrac {na} {pn + r}$

et on majore minore le dénominateur convenablement pour simplifier et avoir ce qu'on veut

ce me semble-t-il ...

Posté par re : Convergence vers la borne inférieure 21-09-23 à 23:06

Bonsoir Yona0404

Bonsoir carpediem

Exercice intéressant !

Quelques pistes pour entamer l'exo

$\boxed{0}$ En faisant $\boxed{p=0}$ on a $\boxed{\forall r\in\mathbb N~,~a_r\leqslant r\alpha}$ , on pose alors $\boxed{\forall n\in\mathbb N~,~v_n=n\alpha-a_n}$ .

$\boxed{1}$ La suite $(v_n)_{n\geqslant0}$ est positive et vérifie $\boxed{\forall n,p,r\in\mathbb N~,~v_{np+r}\geqslant pv_n}$ ,

et en faisant $\boxed{p=r=1}$ on voit qu'elle est croissante.

$\boxed{2}$ Si la suite $(v_n)_{n\geqslant1}$ est nulle c'est que $\boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~a_n=n\alpha}$ ,

et donc que la suite $(\frac{a_n}{n})_{n\geqslant1}$ converge bien vers sa borne inférieure puisque constante.

$\boxed{3}$ Sinon, en notant $\boxed{n_0=\min\{n\in\mathbb N^*~/~v_n>0\}}$ et $\boxed{\forall n\geqslant n_0~,~w_n=\frac{v_n}{n}}$ on a,

$\boxed{\forall n\geqslant n_0~,~w_n>0}$ , $\boxed{\forall n\geqslant n_0~,~\frac{w_{n+1}}{w_n}\geqslant\frac{n}{n+1}}$ et $\boxed{\forall n,p\geqslant n_0~,~w_{np}\geqslant w_n}$ .

$\boxed{4}$ Pour ne pas totalement faire l'exo à ta place Yona0404

je te laisse montrer que la suite $(w_n)_{n\geqslant n_0}$ converge vers sa borne supérieure $\boxed{L=\sup_{n\geqslant n_0}w_n}$

en distinguant les deux cas possibles $\boxed{L=+\infty}$ et $\boxed{L\in\mathbb R_+^*}$ _{sauf erreur de ma part bien entendu}

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