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convergences d'intégrales le retour(et pas la fin)

Posté par
robby3 12-04-07 à 22:29

Boosoir à tous,voila un petit exercice que je ne parviens pas à finir.
\rm Montrer que le sintegrales I=\Bigint_0^1 \frac{ln(x)}{1+x^2}dx et J=\Bigint_1^{\infty} \frac{ln(x)}{1+x^2} sont convergentes \\ et que leur somme est nulle. \\ \\ En deduire la valeur de l'integrale: \Bigint_0^{\infty} \frac{ln(x)}{\alpha^2+x^2} dx

alors pour la convergence j'ai ça:

\rm on a t^{\frac{1}{2}}.|\frac{ln(x)}{1+x^2}|->0 en 0 \\ donc |\frac{ln(x)}{1+x^2}|=o(\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}) \\ et donc \Bigint_0^1 \frac{ln(x)}{1+x^2}dx est absolument convergente \\ \\ de meme t^{\frac{3}{2}}.|\frac{ln(x)}{1+x^2}|->0 en +\infty donc on a|\frac{ln(x)}{1+x^2}|=o(\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}) donc \\ \Bigint_1^{\infty} \frac{ln(x)}{1+x^2} absolument convergente.

voila je vais tenter de les calculer avec une IPP.
si je trouves je poste dans quelques minutes.

Posté par
kaiser Moderateurre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 22:33

Re robby

Jusque-là, je suis d'accord avce toi (à part le fait que des x se soient transformés en t mais bon, c'est un détail ! )

Kaiser

Posté par
raymond Correcteurconvergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 22:34

Bonsoir.

Dans I, pose x = 1/t, c'est royal.

A plus RR.

Posté par
Cauchyre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 22:36

Je m'incruste,

ne pourrais-t-on par faire un changement de variable U=1/x.

Posté par
robby3convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 22:36

ok bon je tente ça parce que l'intégration par parti était mal parti justement!

Posté par
Cauchyre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 22:39

J'ai oublié de dire bonjour tout le monde

Grillé par raymond

Posté par
robby3re : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 22:47

euhh je tourne en rond la....

\rm x=\frac{1}{t},t=\frac{1}{x},dx=-\frac{1}{t^2} dt \\ \\ donc: \Bigint_0^1 \frac{ln'x)}{1+x^2} dx=\Bigint_0^1 \frac{-ln(\frac{1}{t})}{t^2+1} dt \\ \\ et apres bah j'ai essayé l'integration par parties...sans grand succes...

Posté par
Cauchyre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 22:48

Les bornes?

Posté par
robby3re : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 22:59

ahh oué!!!

\rm \Bigint_1^{\infty} \frac{ln(\frac{1}{t})}{1+t^2} dt \\
?? c'est ça?

Posté par
Cauchyre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 23:00

Oui et ln(1/t)=-ln(t) donc la somme est nulle.

Posté par
robby3re : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 23:05

euhh oui!!!
ahh ok ok d'accord je viens de comprendre la subtilité

par contre le "en déduire est "grossier""

je suppose qu'il faut découper..de 0 à 1 puis de de 1 à l'infini.

Posté par
Cauchyre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 23:08

Je suppose aussi

Posté par
raymond Correcteurre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 23:10

robby3.

Tu n'as pas l'air d'être bien combattif.
Un conseil pour les oraux : si l'examinateur te donne une piste, exploite là et pas à reculons s'il te plait, sinon tu vas avoir de drôles de surprises au niveau résultat.
x = 3$\frac{1}{t} => dx = 2$ -\frac{dt}{t^2}.

3$\textrm I = \Bigint_{+\infty}^{1}\frac{-ln(t)}{1 + \frac{1}{t^2}}\times-\frac{dt}{t^2}

3$\textrm I = -\Bigint_{1}^{+\infty}\frac{ln(t)}{1 + t^2}{dt} = - J

Sauf erreurs de frappe.

A plus RR.

Posté par
robby3re : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 12-04-07 à 23:15

euhh...d'accord Raymond(les oraux c'est pas demain la veille ...le capes c'est pour l'année prochaine voire dans 2 ans)

sinon ce que tu as écrit j'avais compris,c'est juste que je cherché à la caculer réelement...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin). 13-04-07 à 00:21

Bonsoir ;
On peut montrer que 3$\blue\fbox{\int_{0}^{1}\frac{ln(x)}{1+x^2}dx=-\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}} (sauf erreur)

Posté par
Cauchyre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 13-04-07 à 00:22

Et c'est calculable ca il me semble non?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 13-04-07 à 01:15

Maple donne 3$\blue\fbox{\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}= hypergeom([\frac{1}{2},\frac{1}{2},1],[\frac{3}{2},\frac{3}{2}],-1)=Catalan=0.9159655942}

Posté par
Cauchyre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 13-04-07 à 01:47

Oui j'ai du m'emporter,effectivement avec le (-1)^n c'est la constante de Catalan,d'ailleurs on sait pas si c'est un irrationnel j'avais entendu ca je crois au boulot elhor

Posté par
robby3re : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 13-04-07 à 11:14

merci tout le monde,Elhor j'avais déja demander à maple au cas ou...

voila ce que j'ai fait dites moi ce que vous en penser(je passerais ce soir sur l'ile)

\rm On pose \fbox{u=\frac{x}{a}, x=u.a,dx=a.du} \\ on a donc: \Bigint_0^{\infty} \frac{aln(ua) du}{a^2+a^2u^2} \\ \\ soit: \frac{1}{a}.\Bigint_0^{\infty} \frac{ln(u)+ln(a)}{1+u^2} du \\ \\ =\frac{1}{a}.\Bigint_0^{\infty} \frac{ln(u)}{1+u^2} du+\frac{ln(a)}{a}.\Bigint_0^{\infty} \frac{1}{1+u^2} du \\ \\ =\frac{1}{a}.I+\frac{\pi.ln(a)}{2a} ou I=\Bigint_0^{\infty} \frac{ln(u)}{1+u^2} du \\ \\ d'ou\fbox{I=\frac{\pi.ln(a)}{2(a-1)}}

A plus tard.



(je m'excuse auprés de Raymond si je ne suis pas paru "combattif"...faut dire que j'ai passer la journée a faire des intégrales avec Kaiser et que aprés avoir mangé j'ai accusé le coup)

Merci et A bientot.

Posté par
kaiser Moderateurre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 13-04-07 à 11:18

Salut robby

Jusqu'à l'avant dernière ligne c'est correct et ensuite un a-1 apparait miraculeusement (faute de frappe ?)

Kaiser

Posté par
robby3re : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 13-04-07 à 15:09

non c'était une erreur de raisonnement que je viens de corriger:

on trouve la meme chose sans le "-1" parce que le I que j'énonce est nulle d'aprés les questions qui ont précédé.
Merci à tous.Bonne journée.

Posté par
kaiser Moderateurre : convergences d'intégrales le retour(et pas la fin) 13-04-07 à 15:54

OK !

Kaiser


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