Une piste, comme ça pour voir : si f est convexe, alors le point (y,f(y)) est sous la droite joignant les points (x,f(x)) et (z,f(z))
Or cette droite est d'équation (en X et Y) :
(Y-f(x))/(X-x) = (f(y)-f(x))/(y-x)
En z, le point de la droite a donc pour ordonnée :
Z = f(x) +(f(y)-f(x))(z-x)/(y-x)
Et la convexté implique donc que f(z) <= Z (j'utilise <= pour inférieure ou égale) donc :
f(z) <= f(x) +(f(y)-f(x))(z-x)/(y-x)
f(z) - f(x) <= +(f(y)-f(x))(z-x)/(y-x)
Enfin z-x >= 0, donc on peut diviser par (z - x) des deux côtés, et on a terminé, non ? Sauf qu'il y a un signe opposé à ton énoncé, donc soit ton énoncé est faux, soit tu voulais écrire concave, soit j'ai fait une faute de signe quelque part, mais le principe doit rester bon...

Bonjour LeHibou

Je ne comprends pas comment on obtient l'équation de la droite à la 3è ligne....POurquoi y a t il des y et f(y) dans la mesure où (y,f(y)) n'appartient à la droite ?

L'équation (en X et Y) d'une droite passant par les points (a1,b1) et (a2,b2) est  :
(Y-b1)/(X-a1) = (b2-b1)/(a2-a1)

Attention, les X et Y, abscisse et ordonnée du point courant de la droite sont ici en majuscules pour les différencier des x et y, abscisses des points extrêmes.

Donc
Y = b1 + (X-a1).(b2-b1)/(a2-a1)

D'autre part, l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse z est f(z), alors que l'ordonnée du point de la droite d'abscisse z, déduite de l'équation de ladroite, est b1 + (z-a1).(b2-b1)/(a2-a1)

Il te reste à remplacer respectivement a1, b1, a2, b2 par x, f(x), y, f(y) pour tout comprendre.

Bonjour mathsx et LeHibou;
Je dirai plutot que et j'écrirai comme barycentre à coefficients strictement positifs de et ce qui donne et puis en utilisant la convexité de sur que et donc que et remplaçant par sa valeur on aboutit à CQFD
Sauf erreurs bien entendu

joliiiii !

Philoux

Très joli, mais j'aimais bien aussi la démo géométrique, ça cause bien surtout si on fait un dessin. D'ailleurs maintenant je vois où je me suis planté, j'avais mal lu l'énoncé, c'était x<y<z et j'avais traité x<z<y. Trop vite, toujours trop vite, mon prof de Taupe me le disait déjà il y a N années