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Convexité
Soit f:R*+ vers R convexe et g:R*+ vers R une fonction affine
On supp que pour tout x>0,f(x)<=g(x) et f(1)=g(1)
Mq f=g
j'ai seulement prouvé cela que lorsque f est dérivable,j ai mq f'(1)=g'(1)
et on a f(x)>=(x-1)*f'(1)+f(1)=g(x)
Donc f(x)=g(x)
Merci d'avance
Bonjour omarlab05 
une fonction convexe n'est pas toujours dérivable.
Tu peux considérer la fonction différence ...
salut
on peut remarquer qu'une fonction affine est convexe ...
on peut poser g(x) = px + q
pour tous réels a et b tels que 0 < a 
b et tout t 
[0, 1]
f est convexe donc f[ta + (1 - t)b)] tf(a) + (1 - t)f(b) tg(a) + (1 - t)g(b) = t(pa + q) + (1 - t)(pb + q) = p([ta + (1 - t)b] + q = g[ta + (1 - t)b] (*)
alors en choisissant a et b tels que 0 < a 1 b et t tel que ta + (1 - t)b = 1 les deux extremes de (*) sont égaux (à f(1) = g(1))
donc les inégalités sont des égalités ...
Bonjour omarlab05
une fonction convexe n'est pas toujours dérivable.
Tu peux considérer la fonction différence
Bonjour,merci pour votre réponse
Je pense que la fonction doit être dérivable en 1.?
J ai posé h=f-g
h étant convexe la fonction définie par:
Est croissante
Alors on déduit que h(x)>=0
(T(1)=0 prolongement par continuité de fct (h(x)-h(1))/(x-1),T(1)=f'(1)-g'(1)=0)
salut
on peut remarquer qu'une fonction affine est convexe ...
on peut poser g(x) = px + q
pour tous réels a et b tels que 0 < a
b et tout t [0, 1]
f est convexe donc f[ta + (1 - t)b)]
tf(a) + (1 - t)f(b) tg(a) + (1 - t)g(b) = t(pa + q) + (1 - t)(pb + q) = p([ta + (1 - t)b] + q = g[ta + (1 - t)b] (*)
alors en choisissant a et b tels que 0 < a
1 b et t tel que ta + (1 - t)b = 1 les deux extremes de (*) sont égaux (à f(1) = g(1))
donc les inégalités sont des égalités ...
Salut,merci pour votre réponse
Je n'ai pas compris la dernière étape
si tu as a b c d et que a = d alors nécessairement a = b = c = d
or f[ta + (1 - t)b] = tf(a) + (1 - t)f(b) <=> f est affine
Je pense que la fonction doit être dérivable en 1.?
On peut démontrer que la fonction f-g est convexe.
Just une question
or f[ta + (1 - t)b] = tf(a) + (1 - t)f(b) <=> f est affine
Mais pour cela il faut que a,b soient quelconque dans R*+
Et t quelconque dans [0,1]
Ne faut il pas prouver que si on prend a,b quelconque dans R*+
On peut toujours trouver t dans [0,1] tq ta+(1-t)b=1??et on peut trouver a,b dans R+* pourtout t dans [0.1] tq ta+(1-t)=1
Merciiiiiiiiiiiiii
Je pense que la fonction doit être dérivable en 1.?
On peut démontrer que la fonction f-g est convexe.
j e n'ai pas utiliser la derivabilité pour prouver que h est convexe mais pour que T(1)=0
T etant croissante
pourtout x dans ]1,+inf[ T(x)>=0 alors f(x)>=g(x) donc f=g
......
De rien
Et si tu nous disais ce que tu as comme définition(s) pour "fonction convexe" dans ton cours ?
De rien
Et si tu nous disais ce que tu as comme définition(s) pour "fonction convexe" dans ton cours ?
f est convexe donc f[ta + (1 - t)b)] <= tf(a) + (1 - t)f(b)
Attention omarlab05 la convexité ne garantit pas la dérivabilité : prends par exemple la fonction .
Pour détailler davantage La piste que je t'ai proposée :
Montre que
est convexe sur
.
Vérifie que
et que
.
Montre par l'absurde que
.
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