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convexité

Posté par
Crei 22-10-23 à 14:39

Bonjour besoin d'aide pour montrer
eln\left(\frac{e}{\sqrt{2}} \right)+\pi ln\left(\frac{\pi }{\sqrt{3}} \right)\geq\left (e+\pi \right)ln\left(\left(e+\pi \right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2} \right)\right)
j'ai utilisé concavité du ln mais ca ne semble pas marcher. j'ai essayé xlnx je n'arrive pas trouver les hypothèses à poser

Posté par
carpediemre : convexité 22-10-23 à 20:02

salut

a = e \ln \left( \dfrac e {\sqrt 2} \right) + \pi \ln \left( \dfrac \pi {\sqrt 3} \right) = e \ln e + \pi \ln \pi - \left( e \ln \sqrt 2 + \pi \ln \sqrt 3 \right)

b = (e + \pi) \ln[ (e + \pi)( \sqrt 3 - \sqrt 2) ] = (e + \pi )\ln (e + \pi) + (e + \pi) \ln ( \sqrt 3 - \sqrt 2)

a - b = e [\ln e - \ln (e + \pi)] + \pi [\ln \pi - \ln (e + \pi)] - \left[ e [\ln \sqrt 2 + \ln (\sqrt 3 - \sqrt 2)] + \pi [ \ln \sqrt 3 + \ln ( \sqrt 3 - \sqrt 2)] \right] = e \left[ \ln \dfrac e {e + \pi} - \ln (\sqrt 6 - 2) \right] + \pi \left[ \ln \dfrac {\pi}{e + \pi} - \ln (9 - \sqrt 6) \right] = \\ \\ e \ln \dfrac e {(e + \pi)(\sqrt 6 - 2)} + \pi \ln \dfrac \pi {(e + \pi) (9 - \sqrt 6)} = e \ln \dfrac {e(\sqrt 6 + 2)} {2(e + \pi)} + \pi \ln \dfrac {\pi (9 + \sqrt 6)} {75(e + \pi)}

bon ça ne marche pas ... mais ça m'a amusé !!

Posté par
Ulmierere : convexité 22-10-23 à 21:06

Divise ton inégalité par \pi+e> 0. À gauche tu as une combinaison linéaire avec des coefficients dont la somme est 1. Utilise la concavité du log. En passant à l'exponentiellle, ton problème sera résolu si tu sais montrer que

\dfrac{e^2/\sqrt{2} + \pi^2/\sqrt{3}}{\pi + e} \geqslant (e+\pi)(\sqrt{3}-\sqrt{2}).

Montre (assez facile) que c'est équivalent à 3e + 2\pi \geqslant 2\sqrt{6}.
Ce qui est vrai car e\geqslant 2, \pi\geqslant 3 et 6 \geqslant \sqrt{6}.

Posté par
Reicre : convexité 26-10-23 à 11:37

Salut
f: xlnx convexe sur I.  Prends t=√2/(√3-√2) et x,y dans I, x=e/√2 et y=π/√3.

Posté par
Ulmierere : convexité 26-10-23 à 11:57

C'est bien connu, t = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} > 4 appartient à [0,1] et 1-t < 0 aussi

Posté par
Creire : convexité 26-10-23 à 15:33

Ulmiere @ 26-10-2023 à 11:57

C'est bien connu, t = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} > 4 appartient à [0,1] et 1-t < 0 aussi
Je crois qu'il voulais dire sqrt(2)/[sqrt(2)+sqrt(3)]

Posté par
malou Webmasterre : convexité 26-10-23 à 20:19

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q29 - Avoir plusieurs comptes est-il autorisé ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : convexité 27-10-23 à 20:25

Bonsoir,
La méthode avec f(x) = xln(x) et la correction de la coquille fonctionne très bien, alors que je n'ai pas compris comment s'en sortir avec la méthode d'Ulmiere.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : convexité 28-10-23 à 12:55

Je n'ai pas de quoi l'écrire pour vérifier, mais j'ai l'impression qu'on peut remplacer e et par n'importe quels réels strictement positifs.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : convexité 30-10-23 à 07:46

Bonjour,
Je suis aussi sur mon téléphone et n'arrive pas à mettre les balises à ce lien :
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_exhaustif#:~:text=Des%20%C3%A9v%C3%A8nements%20forment%20un%20syst%C3%A8me%20quasi%20exhaustif%20(ou%20quasi%20complet,'univers%20tout%20entier%20%C2%BB).&text=est%20un%20syst%C3%A8me%20quasi%2Dexhaustif.
Trouvé avec Google.

Posté par
carpediemre : convexité 30-10-23 à 10:12

Sylvieg : je pense que tu t'es trompée de fil : je copie le lien dans le bon sujet

Posté par
Sylvieg Moderateurre : convexité 30-10-23 à 17:40

Merci carpediem 🙂
J'avais été surprise que mon message ne soit pas parti.
Je l'avais donc écrit à nouveau.
Et là, je viens de tomber dessus par hasard dans un sujet qui n'a aucun rapport.


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