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Niveau Licence Maths 1e ann
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convexité

Posté par
Timea
09-11-23 à 17:07

Bonjour,
je vous soumets l'exercice qui traite de l'inégalité de Jensen mais qui est posé en classe de terminale, pour laquelle les élèves n'ont pas connaissance de la définition de la convexité sous la forme f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y) :
Voici l'énoncé :
soit f une fonction convexe sur un intervalle I de R.
Montrer que pour tous réels a et b de I, f(\frac{a+b}{2})\leq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))
cette question n'a pas posé problème, en utilisant la croissance de f'. En revanche je bloque sur la question suivante :
montrer que pour tous réels a, b, c f(\frac{a+b+c}{3})\leq \frac{1}{3}(f(a)+f(b)+f(c))
En dernière question il est demandé de montrer par récurrence que quels que soient les réels a_1,a_2,...,a_i de I,
f(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i) \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(a_i)
Je trouve ce sujet quelque peu difficile pour un élève de terminale. Merci pour votre contribution

Posté par
carpediem
re : convexité 09-11-23 à 17:37

salut

le pb (comme dans l'autre sujet) c'est que tu nous parles d'une fonction convexe puis ensuite tu nous dit qu'elle est dérivable

il faudrait donc nous donner :

1/ le cadre dans lequel est donner cet exercice

2/ l'énoncé exact et complet sans fioriture

3/ les outils permis et utilisables (en rapport avec 1/)

car voir DEM de

Posté par
Ulmiere
re : convexité 09-11-23 à 20:06

Je suppose que ta définition de la convexité est "f deux fois dérivable et f'' >= 0" ?

Le cas n = 4, qui est vrai parce qu'en supposant sans perte de généralité que a <= b <= c <= d, le moitié de (a+b)/2 et de (c+d)/2 se trouve bien entre a et d et (a+b+c+d)/4 = ((a+b)/2 + (c+d)/2)/2.

Le cas n = 3 en découle alors, parce qu'en posant d = (a+b+c)/3, on a
3d = a+b+c \iff 4d = a+b+c+d \iff d = (a+b+c+d)/4
et donc f((a+b+c)/3) = f(d) = f((a+b+c+d)/4) <= (f(a)+f(b)+f(c)+f(d))/4.
Et le même petit calcul à l'envers donne l'inégalité cherchée.

Posté par
Timea
re : convexité 09-11-23 à 20:31

Bonsoir,
@carpediem. Je pensais avoir été suffisamment claire...
2) l'énoncé posé est exactement celui que j'ai décrit . Il n'y a rien à rajouter
1) Exercice posé dans un DM de terminale
3) les outils autorisés en classe de terminale pour laquelle une fonction convexe est définie par f"(x)>0
Quant à l'argument utilisé pour démontrer le cas n=2 c'est tout simplement celui qui découle du programme. Si f est convexe alors f"(x)>0 et donc f' est croissante

Merci à Ulmière pour tes indications, je vais le retravailler.
Quant à la récurrence, si quelqu'un a une piste, d'avance merci !

Posté par
Ulmiere
re : convexité 09-11-23 à 20:36

La récurrence c'est exactement la même chose. Vrai pour n'importe quel n pair trivialement et si c'est vrai pour n, alors c'est vrai pour n-1 aussi

Posté par
carpediem
re : convexité 10-11-23 à 18:33

Ulmiere n'a fait que "recopier" ce qui est dit dans la démo donnée en lien ... mais s'il faut aussi qu'il la recopie ...

Timea @ 09-11-2023 à 20:31

2) l'énoncé posé est exactement celui que j'ai décrit .
un énoncé ne se décrit pas, il se donne exactement tel quel sans commentaires, qui viennent éventuellement ensuite



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